ʣ�ǿ�������(������ÿ��إ������齬) No.4

����ޤǤˡ�

Ǥ�դ�ʣ�ǿ�ʣ�ǿ� $z ,w$ �ˤ������ơ� $\overline{z w }=\overline{z } \cdot \overline{w}$ ���ʤꤿ��

�Ȥ������Ȥ����������

����ϡ�

$$\overline{(1+\sqrt{-1})\cdot (2+4\sqrt{-1})} =\overline{1+\sqrt{-1}} \cdot \overline{2+4\sqrt{-1}}$$

$$\overline{(2+3\sqrt{-1})\cdot (1+\pi\sqrt{-1})} =\overline{2+3\sqrt{-1}} \cdot \overline{1+\pi\sqrt{-1}}$$

$$\overline{(\sqrt{2}+\sqrt{-1})\cdot (5+\sqrt{-1})} =\overline{\sqrt{2}+\sqrt{-1}} \cdot \overline{5+\sqrt{-1}}$$

$$\dots$$

�����ƤޤȤ�ƾ����������Ȥ�Ʊ���Ǥ��롣���Τ褦�ˡ� ʸ�����Ѥ��Ƥ��������ʾ��� �Ҥä����ƾ������Ƥ��ޤ��ȸ�ΨŪ�˵����򱿤֤��Ȥ��Ǥ��롣 ��Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z ,w$ ���Ф��ơפȤ������Ȥ򼰤�ɽ�����뤿��ˤ� $\forall$ �Ȥ�������������ơ�

$$\forall z \in {\mathbb{C}}\forall w \in {\mathbb{C}}\quad ( \overline{z w }=\overline{z } \cdot \overline{w})$$

�Ȥ���

$$\overline{z w }=\overline{z } \cdot \overline{w} \quad (\forall z \in {\mathbb{C}}\forall w \in {\mathbb{C}})$$ (��)

�Ƚ񤯡�

���줬�������Ȥ������Ȥϡ��ֿ�α̤��褦�ʷ꤬�ʤ��פ��ʤ����

$$\overline{z w }\neq \overline{z } \cdot \overline{w} \quad (\exists z \in {\mathbb{C}}\exists w \in {\mathbb{C}})$$ (��)

�Τ褦�ʤ��Ȥ�������ʤ����Ȥ������ȤǤ��롣 (��) �� (��) �ϡ��ߤ��˰����������Ǥ��롣��꤬�ְ�äƤ��� �Ȥ������Ȥ򼨤��ˤ����μ�ĥ�������������뤳�Ȥˤʤ롣

$\forall$ �� $\exists$ �ν���(�ѿ����о���)�ˤ����դ��褦��

$$\forall z \in {\mathbb{C}}\setminus \{0\} \exists w\in {\mathbb{C}}\quad (z w=1)$$

��������̿��Ǥ��뤬��

$$\exists w \in {\mathbb{C}}\forall z \in {\mathbb{C}}\setminus \{0\} \quad ( z w=1)$$

�Ϥޤä����������ʤ�̿��Ǥ��롣

$\forall$ �� $\exists$ ��ޤ�褦��̿�������̿�����Τ� �����ؤ��ñ�ʵ�§�����뤳�Ȥˤ����դ��褦��

���Ȥ��С�$S$ �Ͽ��ν���Ǥ���Ȥ��ơ�

$$\forall x \in S \exists y \in S \quad (2 y =x)$$ (AS)

�������

$$\exists x \in S \forall y \in S \quad (2 y \neq x)$$ (BS)

�Ǥ��뤳�Ȥ򡢳Τ����ĺ��������

���� 4.1   $S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ΤȤ��� $S=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ΤȤ��Τ��줾����Ф��ơ�(AS) �� (BS) �Τɤ��餬�����������ͤ��Ƥߤʤ�����

��� 4.1   0 �Ǥʤ�ʣ�ǿ� $z$ �ȡ��¼���������ʬ�Τʤ��Ѥ� $z$ ���г��Ȥ����� $\arg(z)$ �ǽ�ɽ����

�гѤϰ�դˤ���ޤ�ʤ����Ȥ������Ȥ����դ��褦��$\theta$ �� $z$ �� �гѤʤ顢 $\theta + 2 \pi$ �⤽���Ǥ��롣 ���ʤ����$z$ ���гѤ����Τ�

$$\theta+ 2\pi {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

�Ȥ��������ʤ����Ȥ�ʬ���롣 �����ǡ��гѤ� $0\leq \arg(z) < 2 \pi$ ���ϰϤ����� (�⤷���� $-\pi\leq \arg(z) < \pi$ ���ϰϤ�����) �Ȥ������Ȥ��ɤ��Ԥ��뤬������Ϥ��Ĥ⤽�����ʤ���Фʤ�ʤ� �Ȥ����櫓�ǤϤʤ���

���� 4.1   ʣ�ǿ� $z$ , $w$ ���Ф��ơ�

1. $\vert zw\vert=\vert z\vert \cdot \vert w\vert$
2. $z ,w$ ���ɤ���� 0 �Ǥʤ��Ȥ��� $\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)$
3. $z ,w$ ���ɤ���� 0 �Ǥʤ��Ȥ��� $\arg(z/w)=\arg(z)-\arg(w)$

������Ω�ġ�

���� 4.1   �гѤ� $\theta$ �Ǥ���褦��ʣ�ǿ� $z$ ��

$$z=\vert z\vert\left(\cos(\theta)+\sin(\theta) \sqrt{-1} \right )$$

�Ƚ񤱤롣(����� $z$ �� ��ɽ�� �Ȥ�����)

�Ȥ��ˡ�

���� 4.2   Ǥ�դ��������� $n$ �ˤ������ơ�

$$z^n=1$$

��ߤ���ʣ�ǿ������礦�� $n$ �Ĥ��äơ�������

$$\cos(\frac{2 \pi k}{n}) +\sqrt{-1}\sin(\frac{2 \pi k}{n}) \qquad (k=0,1,2,\dots,n-1)$$

�Ǥ��롣������ $1$ �� $n$ �躬�ȸƤФ�롣

���� 4.1   ʣ�ǿ�ʿ�� ${\mathbb{C}}$ ��ˤ��ʤ��ι����ʰ��� $z$ (��������0 �� $1$ �Ȥϰۤʤ���)�� �Ȥꡢ 0 , $z$ , $-\omega z$ ��ץ��åȤ�����ʬ�Ƿ��Ǥߤʤ����� �ɤ�ʿ޷����Ǥ���Ǥ��礦����

��������

$$\omega =\frac{-1+\sqrt{-3}}{2} \left( =(-\frac{1}{2})+(\frac{\sqrt{3}}{2})\sqrt{-1} \right)$$

�Ȥ��ޤ���