ʣ�ǿ�������(������ÿ��إ������齬) No.1

�ֲ֤Ϻ��ڡ��ͤ���ΡפʤɤȤ������դ����뤱��ɡ� ���ؼԤˤȤäƿ��Ȥ�����ʣ�ǿ����ؿ��Ȥ�����ʣ�ǿ��ʹؿ��Ǥ��롣 ���ʤ��Ȥ�¿��ʹؿ����ϰϤǤ����ؤǡ� �ա��ꥨ�Ѵ��Τ褦�ʴ���Ū��ƻ��� ʣ�ǿ��ʹؿ����ϰϤǽ��ƥ��쥤�˰����롣

���ιֵ��Ǥϼ¿�������Ƚ������ˤĤ��Ƥϴ��ΤȤ��롣 �¿��ξ����������ν���Ⲿ�ꤷ�褦�� �¿������Τν���(�¿�ľ��)�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �Ƚ񤯡�

ʣ�ǿ�������ˤϤ�����������ˡ�����롣 ������ؤǤ�(�ȸ��äƤ⤿�äפ�100ǯ�ʾ�������) �����켫�Ȥˤ��Ƥ⡢�����¤��Ѥˤ��Ƥ�ּ�����Ϳ����줿�פȤ� ��ᤷ�ʤ����ʹ֤���ʬ�����Ƿ���Τ��� ������������᤿�餽��ϼ��ʤ���Фʤ�ʤ��� ��������Ρ����濫�碌����ʤɤ�ͤ��Ƥߤ�Ȥ褤��

�Ĥ��Τ褦�ʤ��Ȥ��ꤿ���Τ���:

��� 1.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˡ�$J^2=-1$ ���������褦�ʿ� $J$ ���դ��ä����ø������ ���Τʤ��ǤǤ���褦�ˤ�������� ${\mathbb{C}}$ �ȸƤ֡�

�������������ǤϤʤ���(�������������IB�ǴĤ��������ٶ�������ʤ�� �������Ǥ��롣)

�����ʳ������������򤹤뤿��ˤϡ����Τ褦����ˡ��Ȥ뤳�Ȥ⤢�롣

��� 1.2   �¿� $a,b$ �ˤ������ơ�

$$(a,b)_{\operatorname{complex}}= \begin{bmatrix} a& -b \\ b & a \end{bmatrix}$$

�η����󼡹���(��Ʊ����Τ������̤��뤿�᤽�Υ��ԡ� ¹) ��ʣ�ǿ��ȸƤ�ʣ�ǿ������Τ� ${\mathbb{C}}$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

���ιֵ��ǤϤ����������Ѥ��褦�� ��������Ǥ�ʣ�ǿ����¡��ѤϤޤ�Ϳ�����Ƥ��ʤ��� ������ؤǤ�(�ȸ��äƤ⤿�äפ�100ǯ�ʾ�������) �����켫�Ȥˤ��Ƥ⡢�����¤��Ѥˤ��Ƥ�ּ�����Ϳ����줿�פȤ� ��ᤷ�ʤ����ʹ֤���ʬ�����Ƿ���Τ��� ������������᤿�餽��ϼ��ʤ���Фʤ�ʤ��� ��������Ρ����濫�碌����ʤɤ�ͤ��Ƥߤ�Ȥ褤��

���� 1.1   ʣ�ǿ����¤��Ѥò¡¢¹ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Â¤ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ï¤Þ¤ï¿½Ê£ï¿½Ç¿ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ê¡¢

$$(a,b)_{\operatorname{complex}}+ (c,d)_{\operatorname{complex}}=(a+c,b+d)_{\operatorname{complex}}$$

$$(a,b)_{\operatorname{complex}}\times (c,d)_{\operatorname{complex}}=(ac-bd,ad+bc)_{\operatorname{complex}}$$

���衢�����¤��Ѥ򾡼�˷�᤿����ȸ��äƤ��줬�褤�׻���§�� �������Ȥϸ¤�ʤ����Ȥ��������ιֵ��Ǥ�����Ϲ���α黻�� ή�Ѥ��Ƥ���Τǡ��������٤η׻���§��ߤ������Ȥ���ưŪ���ݾڤ���롣 ��������ˤޤȤ�Ƥ�������

���� 1.2   ���Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. (�¤˴ؤ���׻���§)
   1. (�¤η��ˡ§) Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z_1,z_2,z_3$ �ˤ������ơ�
      $$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3).$$

   2. (0 ����¸��) ʣ�ǿ� $(0,0)_{\operatorname{complex}}$ �Τ��Ȥ�ñ�� $0_{\operatorname{complex}}$ �Ƚ񤯤�
      $$0_{\operatorname{complex}}+z =z, \quad z+0{\operatorname{complex}}= z.$$

   3. (�ޥ��ʥ�����¸��) Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z=(a,b)_{\operatorname{complex}}$ ���Ф��ơ� $(-a,-b)_{\operatorname{complex}}$ �Τ��Ȥ� $-z$ �Ƚ񤯤ȡ�
      $$z+(-z)=0_{\operatorname{complex}}(-z)+z=0_{\operatorname{complex}}.$$

   4. (�¤βĴ���) Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z,w$ ���Ф��ơ�
      $$z+w=w+z.$$

2. (�Ѥ˴ؤ���׻���§)
   1. (�Ѥη��ˡ§) Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z_1,z_2,z_3$ �ˤ������ơ�
      $$(z_1 \times z_2) \times z_3=z_1 \times (z_2 \times z_3).$$

   2. (�Ѥ�ñ�̸���¸��) ʣ�ǿ� $(1,0)_{\operatorname{complex}}$ �Τ��Ȥ� $1_{\operatorname{complex}}$ �Ƚ񤯤ȡ�Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z$ ���Ф��ơ�
      $$1_{\operatorname{complex}}\times z=z, \quad z \times 1_{\operatorname{complex}}=z.$$

3. (ʬ��ˡ§) Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z_1,z_2,w$ ���Ф��ơ�
   $$(z_1+z_2)\times w=z_1\times w +z_2\times w, \quad w \times (z_1+z_2)= w \times z_1+ w \times z_2.$$

̿�� 1.1   ʣ�ǿ������Τϡ����˼�����������ġ�

1. (�ѤβĴ���) Ǥ�դ�ʣ�ǿ� $z,w$ ���Ф���
   $$z w =w z$$

2. (0 �ʳ��θ��βĵ���) 0 �ʳ��θ� $z=(a,b)_{\operatorname{complex}}$ �ˤ������ơ� $z^\Delta=(\frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2+b^2})_{\operatorname{complex}}$ �Ƚ񤯤ȡ�
   $$z\times z^\Delta=1_{\operatorname{complex}}, z^\Delta\times z=1_{\operatorname{complex}}$$
   ���ʤꤿ�ġ�

���� 1.1   ������ĤΤ��ȤˤĤ��������ʤ�����

1. ���̿��Ρ��ѤβĴ����פ���ʬ������ˤ������äƾ������ʤ�����
2. ���Τ��Ȥ�������������������ͳ��󤲤ƽҤ٤ʤ�����

   ��Ǥ�դμ¹��� $A,B \in M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���Ф��ơ�$AB=BA.$ ��

����1.1, ���� 1.2 ��̿��1.1 ��ޤȤ�ơ�ʣ�ǿ������� ${\mathbb{C}}$ ����(����)��ʤ��Ȥ����� �����ǡ� ${\mathbb{C}}$ �Τ��Ȥ�ʣ�ǿ����ȸƤ֡�

��� 1.3   �¿� $a$ ���Ф��ơ� $(a,0)_{\operatorname{complex}}$ ���������� �������1��1�ǡ��¡��Ѥ��ݤġ������Ǻ���Ϥ����б��ˤ�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ����Ȥߤʤ��� �Ȥ��ˡ� $1_{\operatorname{complex}}$ �� $1$ ��Ʊ��뤵��롣

���� 1.3   $(0,1)_{\operatorname{complex}}$ �Τ��Ȥ� $J$ �Ƚñ¤¯¤È¡ï¿½

1. $J^2=-1.$
2. Ǥ�դ� $(a,b)_{\operatorname{complex}}$ ��
   $$(a,b)_{\operatorname{complex}}=a + b J$$
   �Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ��롣

�ޤȤ��ȡ� ${\mathbb{C}}$ �Ȥ� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ˡ� $J^2=-1$ ���������褦�ʤ��餿�ʡֿ���$J$ ���դ��ä����ΤǤ��롢�Ȥ������Ȥˤʤ롣 �Ĥޤꡢ��� 1.1����Ƭ�˽񤤤���Τ� ��� 1.2 �Τ�ȤǤ�����ǤϤʤ��������ˤʤ���

���ؤ��Ȥ�Ω�ƤƤ�����ΤǤ��뤫�顢�ɤ�����ȯ���ǡ��ɤΤ褦�˺�äƤ������� �ռ����뤳�Ȥ����ѽ��פǤ��롣