next up previous
Next: About this document ...

    

����ر齬 I ���� No.7

\fbox{¡Ô¥¤¥Ç¥¢¥ë¤ÎÀ¸À®¸µ¡Õ¡¦ÁÇ¥¤¥Ç¥¢¥ë¡¦¶ËÂ祤¥Ç¥¢¥ëÊÔ}

��� 7.1   $ R$ ��ġ�$ I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ë¡¢$ S$ �� $ R$ ����ʬ����Ȥ��ޤ���$ I$ �� $ S$ ��(���ǥ���Ȥ���)���������Ȥϡ�����������������Ȥ��˸����ޤ���
  1. $ I$ �� $ S$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤࡣ
  2. $ I$ �ϡ�$ S$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ।�ǥ������ǺǾ��Τ�ΤǤ��롣���ʤ���� $ S$ ��ޤ� $ R$ ��Ǥ�դΥ��ǥ��� $ J$ ���Ф��� $ I\subset J$ ������Ω�ġ�
$ S$ ��ͭ�½��� $ S=\{x_1,\dots,x_n\}$ �ΤȤ���$ S$ ����������륤�ǥ�������� $ (x_1,\dots,x_n)$ �ȴݳ�̤��Ѥ��ƽ񤭤ޤ���

���� 7.1   $ \{9,12\}$ ����������� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $ I=(9,12)$ ����衣

���� $ I$ �ϰ������ˤĤ����Ĥ��Ƥ��뤫�顢

$\displaystyle I\ni 12-9=3.
$

����ˡ�$ I$ �� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ��ݤ����ˤ���Ĥ��Ƥ��뤫�顢

$\displaystyle 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\subset I.
$

�Ȥ������� $ 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $ \{9,12\}$ ��ޤ� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤫�顢$ I$ �κǾ����ˤ�ꡢ

$\displaystyle I \subset 3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}
$

�ʾ�ˤ�ꡢ $ I=3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ʬ���ä���($ I=(3)$ �Ƚ񤤤Ƥ��ɤ�����������⻲��)

���� 7.1   $ R$ ��ġ�$ S$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î»ï¿½ $ S$ ����������� $ R$ �Υ��ǥ��� $ I$ �������ҤȤ�¸�ߤ��뤳�Ȥò¼¡¤Î½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. (�����) $ I,J$ ���Ȥ�� $ S$ ����������� $ R$ �Υ��ǥ���(���ʤ�����7.1 ��(1),(2)��������)�ʤ�С�$ I,J$ ξ���κǾ������Ѥ��ơ�$ I=J$ ��ʬ���롣
  2. (¸�� I) $ S$ ��ޤ� $ R$ �Υ��ǥ���ϰ�Ĥ�ɬ��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. (¸�� II) $ S$ ��ޤ� $ R$ �Υ��ǥ�������Τ� $ \{I_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ �Ȥ���ȡ�����餹�٤Ƥζ�����ʬ

    $\displaystyle I_0=\cap_{\lambda \in \Lambda}I_\lambda
$

    �� $ R$ �Υ��ǥ���ǡ����� $ S$ ��ޤळ�Ȥ򼨤��ʤ�����
  4. (¸�� III) ��� $ I_0$ �� $ S$ ��ޤ�Ǿ��Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 7.2   ���� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ�����ñ�ʷ��ˤʤ����ʤ�����
  1. $ I_1=(4,6)$
  2. $ I_2=(12,18,30)$
  3. $ I_3=(78,54,62)$

���� 7.3   ���� $ {\mathbb{C}}[X]$ �Υ��ǥ�����ñ�ʷ��ˤʤ����ʤ�����
  1. $ I_1=(X^3,X^2)$
  2. $ I_2=(X^3-1, X^2-1)$
  3. $ I_3=(X(X-1),(X+1)(X-1),X(X+1))$

��� 7.2   $ R$ ��ñ�̸�����IJĴ��ġ�$ I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¤È¤ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ I$ �� $ R$ ���ǥ��ǥ���Ǥ���Ȥ����Τϡ� �� $ f,g \in A, fg\in I$ �ʤ�С�$ f$ �� $ g$ �ΰ����� $ I$ �θ��Ǥ���פ�����Ω�ĤȤ��˸����ޤ���
  2. $ I$ �� $ R$ �ζ��祤�ǥ���Ǥ���ȸ����Τϡ�$ I$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ� $ R$ �Υ��ǥ��뤬 $ R$ �� $ I$ ���Ȱʳ��ˤ�¸�ߤ��ʤ��Ȥ��˸����ޤ���

���� 7.4��7.18 �Ǥϡ��ִġפȤ�����ñ�̸�����IJĴ��Ĥ�ؤ����Ȥˤ��ޤ���

���� 7.4   �� $ R$ �Υ��ǥ��� $ I$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��뤿���ɬ�׽�ʬ���ϡ�$ R/I$ ������Ǥ��뤳�ȤʤΤò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 7.5   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ǥ��ǥ���ˤʤ�Τϡ�$ n=0$ ���� $ n$ ���ǿ��ΤȤ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 7.6   �� $ R$ �Υ��ǥ��� $ I$ ��$ R$ ������ $ h$ ���� $ Rh+I=R$ ���������ʤ�С�$ h$ �ξ�;�� $ \bar{h}$ �� $ R/I$ �βĵո��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 7.7   �� $ R$ �ζ��祤�ǥ��� $ I$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $ R/I$ ���ΤǤ��뤳�Ȥò¡¢¼ï¿½ï¿½Î½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ R$ ��Ǥ�դθ� $ h$ ���Ф��ơ�$ Rh+I$ �� $ I$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ।�ǥ���Ǥ��롣
  2. % latex2html id marker 1787
$ Rh+I=I\quad {\Leftrightarrow}\quad h\in I$ .
  3. $ R/I$ �ˤ����ơ� % latex2html id marker 1791
$ \bar{h}\neq 0 $ �ʤ�� $ \bar{h}$ �� $ R/I$ �βĵո��Ǥ��롣

���� 7.8   ���祤�ǥ�����ǥ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 7.9  
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $ n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $ m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($ n,m$ ����������)�ˤĤ��ơ�

    % latex2html id marker 1815
$\displaystyle n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\supset m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad {\Leftrightarrow}\quad \text{$n$ ¤Ï $m$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Ç¤¢¤ë}
$

    �򼨤��ʤ�����
  2. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ζ��祤�ǥ���򤹤٤Ƶ��ʤ�����

���� 7.10   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �Υ��ǥ��� $ I=(X)$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��äơ����祤�ǥ���ǤϤʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 7.11   ���� % latex2html id marker 1833
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{2}]$ �Υ��ǥ�����ǥ��ǥ��뤫�ɤ��������ʤ�����
  1. $ I_1=(5)$
  2. $ I_2=(7)$

���� 7.12   �Ĥδ֤ν�Ʊ������ $ f:R\to S$ ��Ϳ����줿�Ȥ��ޤ������λ� $ I$ �� $ S$ ���ǥ��ǥ���ʤ顢$ f^{-1}(I)$ �� $ R$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 7.13   ���ξ�����­���� $ f,R,S,I$ �ò¸«¤Ä¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ f:R\to S$ �ϴĤδ֤ν�Ʊ��������
  2. $ I$ �� $ S$ �ζ��祤�ǥ��롣
  3. $ f^{-1}(I)$ �� $ R$ �ζ��祤�ǥ���Ǥʤ���
(�ҥ��:0 ���Τζ��祤�ǥ���Ǥ���)

���� 7.14   $ R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���¿�༰�� $ R[X]$ �θ� $ f,g$ �ǡ�����2����Ʊ������­�����Τ���ʤ�����
  1. $ \deg(f)=\deg(g)=2$ .
  2. $ \deg(fg)=3 (<\deg(f)+\deg(g))$ .

���� 7.15   $ R$ ��ġ�$ I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½$ R/I$ �Υ��ǥ�������Τȡ�$ I$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ� $ R$ �Υ��ǥ�������ΤȤδ֤ˤϰ��а��б����Ĥ����Ȥò¼¡¤Î¤è¤¦ï¿½Ë¤ï¿½ï¿½Æ¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ J$ �� $ I$ ��ޤ� $ R$ �Υ��ǥ���Ȥ���Ȥ���

    $\displaystyle \bar{J}=\{\bar{x}; x\in J\}$   ($?$ �� $?$ �Υ��饹��ɽ����)

    �� $ R/I$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
  2. $ K$ �� $ R/J$ �Υ��ǥ���Ȥ���Ȥ���

    $\displaystyle \hat{K}=\{x\in R; \bar{x}\in K\}
$

    �� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
  3. �����Ĥ��б��ϸߤ���¾�ε��б��ˤʤäƤ��롣���ʤ����

    % latex2html id marker 1920
$\displaystyle \hat{\bar{J}}=J,\quad \bar{\hat{K}}=K.
$

���� 7.16   $ {\mathbb{C}}[X]$ �Υ��ǥ��� $ I$ ��ɬ�������Ĥθ� $ f$ ����������� $ (\exists f; I=(f))$ ���Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(�ҥ�ȡ�$ f$ �Ȥ��� $ I\setminus\{0\}$ �θ��Τ����������Ǿ��Τ�Τ�Ȥ롣)

���� 7.17   ʣ�ǿ��ò·¸¿ï¿½ï¿½Ë»ï¿½ï¿½ï¿½Â¿ï¿½à¼° % latex2html id marker 1944
$ f(X) (\neq 0)$ ��ɬ��ʣ�ǿ����ϰϤǺ�����Ĥ��Ȥ��Ѥ��ơ� $ {\mathbb{C}}[X]$ ���ǥ��ǥ���򤹤٤Ƶ��衣

���� 7.18   $ p$ ���ǿ��Ȥ���Ȥ��� $ ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})[X]$ �θ��δ֤μ��δط�����������ʤ�����

$\displaystyle (X+1)^p=X^p+1
$

���� 7.19  
  1. $ V={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\oplus {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� �� $ K={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Υ٥��ȥ���֤Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����������Ϥ�����Ǥ�����
  2. $ V$ ����ʬ�������� $ V$ ����ʬ�٥��ȥ���֤Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  3. $ V$ ����ʬ���򤹤٤Ƶ�ᡢ������ ($ K$ -�٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥ�)��������ʤ�����

���� 7.20   �Ĵ��� $ R$ ���Ǥ�դ� $ m,n$ -���� $ A$ �� $ n,m$ ���� $ B$ �Ȥˤ������ơ�

$\displaystyle \operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)
$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

�ʲ�������Ϥ��ʤ��񤷤����ޤ�����μ���ɬ�פˤʤ��⤢�뤬�� �������դ��ä��Ƥ�������������ή�줬�Ϥ��Ф褤��

���� 7.21   �� $ R$ ���Ǥ�դ� $ n$ ���������� $ A,B$ �ˤ������ơ�

$\displaystyle \operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$ (��)

������Ω�ĤΤ򼨤����� ��������$ R$ ���ΤΤȤ���(��)�����ʤꤿ�ĤΤϴ��ΤȤ��롣 �ʲ��κ��������ʤ�����
  1. $ R_0={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X_{11},X_{12},\dots,X_{nn},Y_{11},Y_{12},\dots,Y_{nn}]$ �� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $ 2 n^2$ �Ĥ��ѿ����դ��ä��ƤǤ����ĤȤ���$ K=Q(R_0)$ ($ R_0$ �ξ���) �Ȥ���Ȥ���$ K$ ��Ǥ� (��)���ʤꤿ�Ĥ��顢 $ A=A_X=(X_{ij}),B=B_Y=(Y_{ij})$ �Ȥ����ѿ�����ʬ�ˤ�������ˤĤ��� (��)�� $ K$ �θ��Ȥ��� ��������
  2. $ R_0\subset K$ . �椨�ˡ� ���(��)�� $ A=A_X,B=B_Y$ �ˤĤ��� $ R_0$ �� ���Ȥ��Ƥ���������
  3. ���������ˤ��, (��)�� Ǥ�դδ� $ R$ ����������

(��)����줫���������ˤϡ� ���󼰤��¿���������ĸ���Ū��(�����顼�ܤ������)ͣ��Υ��)�פȤ�����ħ�Ť��� �Τ���äȤ⼫���Ǥ���������������ζ��ʽ�򻲾ȤΤ��ȡ�

���� 7.22   �� $ K$ ���� $ A\in M_n(K)$ ��Ȥäơ����θ�ͭ¿�༰�� $ \Phi_A(X)(=\operatorname{det}(X\cdot 1_n-A)$ �Ȥ��ޤ������λ��� $ \Phi_A(A)=0$ ������Ω�Ĥ���(�����꡼�ϥߥ�ȥ������)�ò¼¡¤Î½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¼ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
  1. �ʲ��Թ���դ���Ĥΰ�̣�ǻȤ��Ƥ�䤳�����Τ� $ \{A, 1_n\}$ ����������� $ M_n(K)$ ����ʬ�Ĥ� $ R$ �Ȥ����ޤ���

    % latex2html id marker 2051
$\displaystyle R=\{a_m A^m+a_{m-1} A^{m-1}+\dots+a_1 A+ 1_n; \quad a_m,\dots,a_0 \in K\}.
$

  2. $ R$ �ϲĴ��Ĥˤʤ�ޤ���
  3. $ R$ �����ι���� $ M_n(R)$ ��ͤ��ޤ���

    $\displaystyle A=
\begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21}& a_...
...hdotsfor{3} \\
\hdotsfor{4} \\
a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}$

    ����ʬɽ������ȡ�

    $\displaystyle B=
\begin{pmatrix}
A-a_{11} \cdot 1_n& -a_{12} \cdot 1_n & \cdots...
...a_{n1} \cdot 1_n& -a_{n2} \cdot 1_n & \cdots & A-a_{nn} \cdot 1_n
\end{pmatrix}$

    �� $ M_n(R)$ �θ��ǡ� $ \operatorname{Det}(B)=\Phi_A(A)$ . (�������������ǡ� $ \operatorname{Det}(B) \in R$ �� $ B$ �� $ M_n(R)$ �θ��Ȥ��Ƥι��󼰡�)
  4. $ e_1,\dots, e_n$ �� $ K^n$ �δ��ܥ٥��ȥ�Ȥ���ȡ�

    $\displaystyle B
\begin{pmatrix}
e_1\\
e_2\\
\vdots\\
e_n
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{pmatrix}$

  5. $ C$ �� $ B$ �� ($ M_n(R)$ �θ��Ȥ��Ƥ�);���ҹ���Ȥ���ȡ�

    % latex2html id marker 2085
$\displaystyle CB=\operatorname{Det}(B)E_R \quad ($������$E_R$ �� $M_n(R)$ ��ñ�̸�(ñ�̹���)$\displaystyle )
$

  6. $ \operatorname{Det}(B)e_i=0 (i=1,2,3,\dots,n)$ . �椨�ˡ� $ \operatorname{Det}(B)=0$ .


next up previous
Next: About this document ...
2008-11-14