����� I No.13����

�ԴĤ�ľ��ʬ�򡦣�����������

��ĤδĤ�Ĥ�ľ�Ѥ�ʬ�򤹤�ȳڤʤ��Ȥ����롣

�Ĥ�ľ��ʬ�򤹤�Ȥ��ˤϡ��б�����ͱƤ����Τ��ݥ���Ȥˤʤ롣

��� 13.1   $R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���$R_1,R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�� �Ȥϡ��ǥ�����ѽ��� $R_1\times R_2$ �ξ�ˡ� ���Τ褦�ʱ黻�����������ΤǤ��롣

$$(a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd)$$

$R_1$ �� $R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�Ѥ����� $R_1\times R_2$ �Ƚ񤯡�

���� 13.1   $R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $R_1\times R_2$ �ϴĤˤʤ롣
2. $R_1,R_2$ ��ñ�̸� �����줾�� $1_{R_1},1_{R_2}$ �Ȥ���ȡ� $R_1\times R_2$ ��ñ�̸��� $(1_{R_1},1_{R_2})$ �Ǥ��롣
3. $R_1,R_2$ ���Ȥ�˲Ĵ��ʤ�С� $R_1\times R_2$ ��Ĵ��Ǥ��롣

�Ĥ�ľ��ʬ��ˤ����Ƥϡ���Ĥδ���Ū�ʸ������פ�����̤�����

���� 13.2  

1. $R_1,R_2$ ��ñ�̸����IJĴ��ĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ� $R_1\times R_2$ �θ� $e_1,e_2$ �� $e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ �ˤ�ä�����ȡ����Τ��Ȥ� ����Ω�ġ�

   $$e_1^2=e_1, e_2^2=e_2, e_1+e_2=1, e_1e_2=0$$ (��)

   
   

2. $R$ ��ñ�̸����IJĴ��ĤǤ���Ȥ��롣�⤷ $R$ �θ� $e_1,e_2$ �ǡ� $($��$)$ ����������Τ�¸�ߤ���С� $R$ �� $R/(e_1) \times R/( e_2)$ �� Ʊ���ˤʤ롣

�������ˤ�ꡢ�Ĥ�ľ��ʬ�򤷤����Ȥ��ˤϡ� $($��$)$ �������� �� $e_1,e_2$ ��õ���Ф������Ȥ��狼�롣$e_1,e_2$ �Τ��Ȥ� (ľ��ʬ����б�����)�ͱƤȸƤ֡�

̿�� 13.1   �� $R$ �θ� $a,b,x,y$ ��

$$ax+by=1$$

���������Ȥ���

$$R/(a b)\cong R/(a) \times R/(b)$$

�ǡ��б�����ͱƤ� $R/(a b)$ �ˤ����� $b y, a x$ �Υ��饹�Ǥ��롣

�� 13.1 (�Ĥ�ľ��ʬ��ζ�����)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ���Ǥ��롣
2. ${\mathbb{C}}[X]/(X^2-X)$ �� ${\mathbb{C}}[X]/(X)\times {\mathbb{C}}[X]/(X-1)$ ��Ʊ���Ǥ��롣

�����Ĥδ� $R_1,R_2,R_3$ ��ľ�Ѥ���Ĥξ���Ʊ�ͤ��������롣 �� $(R_1\times R_2)\times R_3$ �� $R_1\times R_2\times R_3$ �� Ʊ���Ǥ��롣���İʾ�Ǥ�Ʊ�͡�

��ŵŪ�� 105 ������

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/105{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$

���Ȥˤ��Ƥ��롣

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

$1000$ �dz��� $17$ ;�ꡢ $1003$ �dz��� $34$ ;��褦������ $n$ ������ĵ���(����η׻��Ϥ������پ�ά���Ƥ褤�� ��������᤿��ˡ�Ͻ񤤤Ƥ������ȡ�)

(II).

$X^3-1$ �dz��� $X+1$ ;�ꡢ$X^2+2$ �dz��� $X$ ;��褦�� ${\mathbb{C}}[X]$ �� �� $p(X)$ ������ĵ��衢��