����� IB No.12����

���Ǹ�ʬ��ġ�(3)

̿�� 12.1   �Ǹ�ʬ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰

$$f(X)=c_d X^d+c_{d-1}X^{d-1}+\dots +c_1 X +c_0$$

�ˤĤ��ơ�

1. $g\in R[X]$ �� $R[X]$ �Τʤ��� $f$ ���󸵤Ǥ���ʤ�С� $g$ �������� $f$ ������� $c_0$ ������Ǥ��ꡢ $g$ �κǹ⼡�η����� $f$ �κǹ⼡�η��� $c_d$ ������Ǥ��롣
2. $f$ �κ��ǡ�$K=Q(R)$ �˴ޤޤ���Τ�ɬ��
   $$a/b \quad (a,b\in R,\ a\vert c_d,\ b\vert c_0)$$
   �ʤ���򤷤Ƥ��롣

�� 12.1   $f(X)=15 X^3 +59 X^2+ 23 X -77$ �Ȥ�����$f$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �θ��Ȥ��� �Ǹ�ʬ�ò¤·¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $f$ �κ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$(=Q({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}))$ ��°�����Τ�
   $$a/b \quad (a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ a\vert 15,\ b\vert 77)$$
   �ʤ���򤷤Ƥ��롣($32$ �̤�β�ǽ�������롣)
2. ���Τ����������˺��Ǥ����Τ� $c=-7/3$ �ΰ�ĤΤߤǤ��롣
3. ���������ˤ�ꡢ$f$ �� $X-c$ �� (�� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �Τʤ���)�����˻��ġ�
4. �ºݤ˳�äƤߤ��
   $$f(X)=(X+7/3)(15 X^2+24 X -33)$$

5. �ݥ���Ȥϡ���ΰ���ʬ������Τ�����ܤ���Ĵ�᤹�뤳�Ȥˤ�ꡢ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �θ��Ȥ��Ƥΰ���ʬ����������ˤ��롣
   $$f(X)=(3X+7)(5 X^2+8 X -11)$$

6. $g(X)=5 X^2 +8 X-11$ ��ͭ�����κ�������ʤ���
7. �󼡼��򤬲���Ǥ���а켡�Τΰ��Ҥ��ĤϤ��Ǥ��롣 �椨�� $g$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �����Ǥ��롣
8. $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������ ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��θ���Ū¿�༰�Ǥ��뤫�顢$g$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �����Ǥ��롣 ���ʤ�� $f(X)=(3X+7)g(X)$ �� $f$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �θ��Ȥ��Ƥ� �Ǹ�ʬ��Ǥ��롣

���� 12.1   $2$ �ʾ������ $n$ �ˤ������ơ�

$$f_n(X)=X^n+ 7X +7$$

��������롣���ΤȤ� $f_n(X)$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ����Dz���Ǥ���(=����Ǥʤ�)�褦�� $n$ ���ͤ����Ƶ��ʤ�����