����� IB No.11����

���Ǹ�ʬ��ġ�(2)

���������Ĥ��������λĤ��Ԥä����ȡ� ¿�༰�Ĥ��Ǹ�ʬ��ˤĤ��������롣

��� 11.1   �� $R$ �� $a,b\in R$ �Ȥˤ������ơ�

1. $a \in b R$ �ΤȤ��� $a$ �� $b$ ���ܸ��Ǥ���Ȥ����� $b\vert a$ �ǽ�ɽ����$b$ ����Ȥ��ơ�$b$ �� $a$ ���󸵤Ǥ���Ȥ⤤����
2. ���� $u \in R^\times$ �����äơ�$a=bu$ ��ߤ����Ȥ���$a$ �� $b$ �Ȥ� Ʊȼ�Ǥ���Ȥ�����

̿�� 11.1   ���� $R$ �θ� $a,b$ �ˤ������ơ�

1. $(a) \subset (b) {\Leftrightarrow} b\vert a$ .
2. $a$ �� $b$ ��Ʊȼ ${\Leftrightarrow}$ $(a)=(b)$ .

̿�� 11.2   $R$ ���Ǹ�ʬ��Ĥʤ�С� $R\setminus \{0\}$ �γƸ���

$$u p_1 p_2 \dots p_l \qquad(l \in \mathbb{N}, u\in R^\times , p_1,\dots,p_l$$    �� $R$ ���Ǹ�$$)$$

�Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ��뤬�����ν�����Ʊȼ������ư��Ū�Ǥ��롣 ���ʤ����

$$u p_1 p_2 \dots p_l =v q_1q_2 \dots q_m$$

$$(l,m \in \mathbb{N}, u,v\in R^\times , p_1,\dots,p_l,q_1,\dots,q_m R )$$

�ʤ�С�$l=m$ �Ǥ��äơ��ʤ����Ĥ��� $\sigma\in \mathfrak{S}_l$ �����ä� �� $j$ �ˤ������� $p_j$ �� $q_{\sigma(j)}$ �Ϥ��줾��Ʊȼ�ˤʤ롣

���� 11.3   $R$ ���Ǹ�ʬ��Ĥʤ�� $R[X]$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣

�� 11.4   �Ǹ�ʬ��� $R$ ��� $n$ �ѿ�¿�༰�� $R[X_1,X_2,\dots, X_n]$ �� �ޤ��Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣

���� 11.1   ���� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ�������

$$S_R=R\times (R\setminus\{0\})=\{(a,b); a\in R, b\in R, b\neq 0\}$$

��Ʊ�ʹط���

$$(a,b)\sim (c,d) {\Leftrightarrow}a d =b c$$

��������롣 $(a,b)\in S_R$ �Τ���Ʊ�ʹط��ˤ�륯�饹�� $a/b$ �Ȥ����� $Q(R)=S_R/\sim$ ���¡��Ѥ�

$$a/b+ c/d=(ad+bc)/bd$$

$$a/b\cdot c/d=(ac)/(bd)$$

���������ȡ������Ϥ��ޤ���������, $Q(R)$ �ϴĤˤʤ롣

��� 11.2   ���� $R$ �ˤ������ƾ�Τ褦�˺����� $Q(R)$ �� $R$ �ξ��ΤȸƤ֡�

���� 11.3 �ξ����ˤϡ� $Q(R)[X]$ ���ǰ���ʬ������Ѥ��� $R[X]$ ���ǰ���ʬ��򤹤뤳�Ȥ�ͤ��롣

���γ�ǰ���Ѥ��롣

��� 11.3   �Ǹ�ʬ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $f$ �� ����Ū�Ǥ���Ȥϡ� $f$ �η��������ƽ��᤿��Τκ��������� $1$ �Ǥ���Ȥ��ˤ�����

UFD �Ǥ��Ǹ�ʬ���¸�ߤ��顢���Τ��Ȥ������롣

���� 11.2   Ǥ�դ� $f\in R[X]$ ��

$$f=a f_1 \qquad (a \in R,$$   $f_1&isin#in;R[X]$ �ϸ���Ū$$)$$

�Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ��롣$a$ ��Ʊȼ������ư��Ū�Ǥ��롣

���� 11.3 (������)   �Ǹ�ʬ��� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���$K=Q(R)$ �Ȥ��������ΤȤ�

1. $R[X]$ �θ� $f,g$ �� $R$ ���Ǹ� $p$ �Ȥˤ������ơ�
   $$fg\in p R[X] {\Leftrightarrow} f \in p R[X]$$    or $$g \in p R[X]$$

2. $R[X]$ �θ���Ū�ʸ����Ѥ�ɬ������Ū�Ǥ��롣
3. $R[X]$ �θ���Ū�ʸ� $f$ �ˤĤ��ơ� ���Τ��Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣
   1. $f$ �� $R[X]$ ���Ǹ��Ǥ��롣
   2. $f$ �� $R[X]$ �δ��󸵤Ǥ��롣
   3. $f$ �� $K[X]$ �δ��󸵤Ǥ��롣
   4. $f$ �� $K[X]$ ���Ǹ��Ǥ��롣

����. (3) (a) $\implies$ (b) ������10.3�� 1. ���齾���� $K[X]$ �ϥ桼����å�����Ǥ��뤫�顢���ʬ��ġ��椨�ˡ� (c) ${\Leftrightarrow}$ (d) �Ǥ��롣

(b) $\implies$ (c): $f$ �� $R[X]$ �θ���Ū���󸵤Ǥ���Ȥ��롣 $f$ ���⤷ $K[X]$ �Ǵ���Ǥʤ���С�

$$c_1 f=c_2 g_1h_1$$

( $c_1,c_2\in R\setminus \{0\}$ , $g_1,h_1\in R[X]$ �ϸ���Ū����1���ʾ�) �ʤ� $c_1,c_2,g_1,h_1$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ�ʬ���롣 $g_1 h_1$ ��(2)�ˤ�긶��Ū�Ǥ��뤫�顣$c_1$ �� $c_2$ ��Ʊȼ�� ���Τ��Ȥ��顢

$$f=u g_1 h _1 (\exists u \in R^\times)$$

���狼�롣����� $f$ �� $R[X]$ �δ��󸵤Ǥ��뤳�Ȥ�ȿ���롣

(d)$\implies$ (a): $f$ �� $R[X]$ �θ���Ū�ʸ��ǡ�$K[X]$ ���Ǹ��Ǥ���Ȥ��롣 $gh \in f R[X]$ �ʤ� $g,h \in R[X]$ ������Ȥ���ȡ�$K[X]$ �Τʤ��� �ͤ��뤳�Ȥˤ��

$$g \in f K[X]$$    or $$h \in f K[X]$$

���狼�롣�ɤ���Ǥ⤪�ʤ����ȤǤ��뤫�� $g \in f K[X]$ �Ȥ��褦�� �������򼺤����Ȥʤ���$g$ �ϸ���Ū�Ǥ���Ȳ��ꤷ�Ƥ褤�� $g\in K[X]$ ����

$$b_0 g =b_1 f m$$

�ʤ� $b_0,b_1\in R\setminus \{0\}$ �ȡ� ����Ū�ʸ� $m\in R[X]$ ��¸�ߤ�ʬ���롣 �Ƥ� (2)�Τ�ꡢ$b_0$ �� $b_1$ �Ȥ�Ʊȼ�Ǥ��뤳�Ȥ��Τ롣�������äơ� $g \in f R[X]$ . $\qedsymbol$

���� 11.1   ���� $R$ �ˤ������ơ�$Q(R)$ ���¤����ޤ��������뤳�Ȥ�ºݤ˾������衣

���� 11.2   �Ĵ��� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���Ǥ�դ� $p \in R$ �ˤ�������

$$R[X]/p R[X] \cong (R/pR)[X]$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����