����� IB No.8(�)

• �����ѻ�α���ˤ�ɬ�������ֹ�������뤳�ȡ�
• �������ߤϲ��Ǥ�ġ������������Τ�Τ������
  • �̿���ǽ���Ĥ�Ρ�
  • ¾�ͤ����Ǥˤʤ��Ρ�

(�����Ͻ�Ʊ�������μ��դˤǤƤ�������γ�ǧ�Ǥ��롣 ���β����ǽ�Ʊ���������Ȥ��Ѥ�����̤Ϥ����餯�ʤ����������Ȥ������� �Ѥ����˲�褹�뤳�ȡ�)

���� 8.1   �Ľ�Ʊ�� $\varphi:$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X] \to {\mathbb{C}}$ ��

$$\varphi(X)=10$$

�����������Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $\varphi(X^2)$ ����衣(���ΤߤǤ褤��)
2. $\varphi(8 X^3+2 X + 1)$ ����衣(���ΤߤǤ褤��)
3. $\varphi(p)=356$ �Ȥʤ� $p\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ ����� $3$ �ĵ󤲤ʤ����� �����������Τ�����Ĥ� 3���ʾ�μ��Ǥ���褦�ˤ��뤳�ȡ� (�����ȡ���ñ�ʳΤ��ỻ�ΤߤǤ褤��)
4. $\operatorname{Ker}(\varphi)\supset (X-10)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ ��������ʤ�����
5. $p(X)\in$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �� $(X-10)$ �dz�ä����� $q(X)$ , ;��� $r$ �Ȥ����� ($r$ �� $1$ �����Ǥ�ä�;������顢 0 �������Ĥޤꡢ���( $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �θ�)) ���ΤȤ� $p$ �� $q,r$ ���Ѥ���ɽ���ʤ�����(�������ס�)
6. Ǥ�դ� $p\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �ˤ������ơ� $\varphi(p)=p(10)$ ���ʤꤿ�Ĥ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½
7. ��;��
      $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[X]/(X-10)$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[X]$$
   �Ǥ�¿�༰ $p(X)\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �Υ��饹��ͭ���� $p(10)$ �Υ��饹������������ �ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

�Ѹ�����ա�

•    $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Ȥϡ�ͭ���������ΤΤʤ�����Ǥ��롣���ν�����̾���¡������ѡ� ���ˤĤ����Τ�ʤ���ͭ�������ȸƤФ�롣
  $$0,1,2,3,\dots, -1,-2,-3,\dots, 5/7,-37/12,\dots$$
  �������°���롣

•    $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �Ȥϡ� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��ò·¸¿ï¿½ï¿½Ë»ï¿½ï¿½ï¿½Â¿ï¿½à¼°ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î¤Î¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ê¡¢ ����ˤ�
  $$X^2, 8X^3+2X+1, X-10, -7X^3+123/57 X^2+3/2 X-1/127$$
  ������°���롣���ν�����̾���¡������ѤˤĤ��ƴĤ�ʤ��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��� ���ѿ�¿�༰���ȸƤ֡�

• �� $A$ ����� $B$ �ؤμ��� $\varphi$ �ϡ��¤��Ѥ��ݤ���ñ�̸��� ñ�̸��˼̤��Ȥ��Ľ�Ʊ���ȸƤФ�롣

  (��) �Ȥ������Ȥ�ֵ������������Τǡ�������ʬ�Ϻ���Ͼ���̵���˻ȤäƤ�褤�� (���֤�;͵������о�����񤯤Ȥ�äȤ褤��...)���������ɤ��ǻȤä����� �狼��褦�����Ƥˤ��뤳�ȡ�

����

(1) $\varphi(X^2)=\varphi(X\cdot X)=\varphi(X)\cdot \varphi(X)=10\cdot 10=100$ .

(2) $\varphi(8 X^3+2 X+1)= 8 \varphi(X)^3+ 2 \varphi(X) +1=8 \cdot 10^3 +2 \cdot 10+1=8021.$

(3)

• $356$ (���¿�༰)
• $3 X^2+5 X+6$
• $\frac{1}{10} (3 X^3+560)$
• $\frac{356}{2008}(2 X^3+8)$

�ʤɤʤɡ�

(4) $(X-10)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ ����Ǥ�դθ� $a$ ��ȤäƤ���ȡ������

$$a(X)=(X-10) b(X) \qquad b\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[X]$$

�Ȥ������򤷤Ƥ��롣 �������äơ�

$$\varphi(a)=\varphi(X-10) \cdot\varphi(b)=(\varphi(X)-10)\cdot\varphi(b) =0 \cdot \varphi(b)=0.$$

(5)

$$p(X)=(X-10)q(X)+r$$

(6)

$$\varphi(p)=\varphi((X-10))\varphi(q)+\varphi(r) =\varphi(r) \overset{\text{(¡ú)}}{=} r.$$

¾���ǡ�

$$p(10)=(10-10)q(10)+r=r.$$

�椨�ˡ� $\varphi(p)=p(10)$ .

�⤷���ϡ�

$$p(X)=a_n X^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dots+ a_2 X^2+a_1 X+ a_0$$

�Ȥ����ơ�

$$\varphi(p)$$

$$= \varphi(a_n X^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dots+ a_2 X^2+a_1 X+ a_0)$$

$$= \varphi(a_n) \varphi(X)^n +\varphi(a_{n-1})\varphi(X)^{n-1} +\varphi(a_{n-2})\varphi(X)^{n-2}+\dots$$

$$+ \varphi(a_2) \varphi(X)^2+\varphi(a_1) \varphi(X)+ \varphi(a_0)$$

$$\overset{\text{(¡ú)}}{=} a_n\cdot 10^n+a_{n-1}\cdot 10^{n-1}+a_{n-2}\cdot 10^{n-2}+\dots + a_2\cdot 10^2+a_1\cdot 10+ a_0$$

$$= p(10)$$

�Ȥ��Ƥ�褤��

(7) (6)����Ⱦ�˽Ҥ٤��褦�ˡ�

$$p(X)-p(10)=(X-10)q(X)$$

(����� (6) ��Ʊ����Τ�Ȥä���) �����顢 $p(X)$ �� $p(10)$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X-10)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �ǤΥ��饹����������