1=6 1 by -1     

����� IB No.6����

�Խ�Ʊ���Ƚ�Ʊ��������

��� 6.1  

$R,S$ �ϤȤ��(�Ĵ��Ȥϸ¤�ʤ�)�ĤǤ���Ȥ���$f:R\to S$ �򤽤δ֤μ����Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f$ �� $R$ ���� $S$ �ؤ�(��)��Ʊ�������Ǥ���Ȥϡ����ξ�郎����Ω�� �Ȥ��ˤ�����

1. $f$ �� $(R,+)$ ���� $(S,+)$ �ؤη��Ȥ��Ƥν�Ʊ���Ǥ��롣���ʤ����
   $$f(a+b)=f(a)+f(b)$$
   �������٤Ƥ� $R$ �θ� $a,b$ �ˤĤ�������Ω�ġ�
2. $f$ �� $R$ ���Ѥ� $S$ ���Ѥˤ��Ĥ������ʤ����
   $$f(ab)=f(a)f(b)$$
   �������٤Ƥ� $R$ �θ� $a,b$ �ˤĤ�������Ω�ġ�
3. $f$ ��($R$ ��)ñ�̸���($S$ ��)ñ�̸��ˤ��Ĥ������ʤ����
   $$f(1_R)=1_S$$
   ������Ω�ġ�

��� 6.2   �ĤΤ���������ñ�ͽ�Ʊ���Τ��Ȥ�(�ĤȤ��Ƥ�)Ʊ���Ȥ�֡� �ưפˤ狼��褦�ˡ� �ĤΤ�������Ʊ�� $f:R\to S$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $f$ �εռ��� $f^{-1}$ �� $S$ ���� $R$ �ؤ� Ʊ���ˤʤ롣

��(��ˡ��)�ˤĤ��Ƥν�Ʊ�����μ���Ȥ��ȡ����Τ��Ȥ�ľ���ˤ狼�롣

���� 6.1   �Ľ�Ʊ�� $f:R\to S$ �ˤĤ��ơ�

1. $f(0_R)=f(0_S)$ ������Ω�ġ�
2. $f(-a)=-f(a)$ �����Ƥ� $a\in R$ ���Ф�������Ω�ġ�

�Ĥ��ˡ���Ʊ�������������ˤϤ��롣

��� 6.3   �Ľ�Ʊ�� $f:R\to S$ �ˤĤ��ơ� $f^{-1}(0)(=\{r\in R; f(r)=0\})$ �Τ��Ȥ� $f$ �γ�(Kernel)�ȸƤӡ� $\operatorname{Ker}(f)$ �ǽ�ɽ����

$f$ ����(Image)�Ȥϡ��̾��̤ꡢ

$$\operatorname{Image}(f)=\{f(r); r\in R\}$$

�Τ��ȤǤ��롣

���� 6.2   Ǥ�դδĽ�Ʊ�� $f:R\to S$ �ˤ������ơ�

1. $\operatorname{Ker}(f)$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
2. $\operatorname{Image}(f)$ �� $S$ ����ʬ�ĤǤ��롣

���� 6.1   �Ľ�Ʊ�� $f:R\to S$ �ˤĤ��ơ� $R$ ��Ʊ�ʹط� $\sim_f$ ��

$$x \sim_f y {\Leftrightarrow} f(x)=f(y)$$

����������ޤ� $r\in R$ �� $R/\operatorname{Ker}(f)$ �ǤΥ��饹�� $\bar{r}$ �Ȥ���ȡ� ���Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

1. $x,y\in R$ �ˤ������ơ�
   $$x \sim_f y {\Leftrightarrow}\bar{x}=\bar{y}$$
   ��������
2. $f$ ��
   $$\bar{f}:R/\operatorname{Ker}(f) \ni \bar{r} \mapsto f(r)\in \operatorname{Image}(f) \qquad (r\in R)$$
   �ʤ�Ʊ����ͶƳ���롣

����ǤϷ����÷����ġ�Lie �Ĥʤɡ����������ʥ�ΤˤĤ��� ���줾��ֽ�Ʊ�������פ��ʤꤿ�Ĥ�������Ϥ��٤Ƽ��� ñ��ʻ��¤˴�Ť�:

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

�Ĥν�Ʊ�� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [a]_{15} \mapsto [a]_5\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ($[?]_n$ �� $?$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����륯�饹) ��ͤ��롣(�����ϡ�$f$ �����ޤ��������Ƥ��뤳�ȡ� ����� $f$ ���ºݤ˴Ĥν�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ� �������������٤������������ǤϤ�����׵ᤷ�ʤ���) ���ΤȤ���

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ� $x$ 15�ĤΤ��줾��ˤĤ��ơ�$f(x)$ ��񤭤ʤ�����
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ� $y$ 5�ĤΤ��줾��ˤĤ��ơ� $f^{-1}(y)$ ��񤭤ʤ�����

(II).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/11{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [n]_{11}\mapsto [n]_5 \in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ϥ��ޤ��������ơ� �Ľ�Ʊ���ˤʤ����������

(III).

�������� $k,l$ �� Ϳ����줿�Ȥ���$k,l$ �ˤɤΤ褦�ʴط�������С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/k{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\ni [n]_{k}\mapsto [n]_l \in{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/l {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ϥ��ޤ��������ơ� �Ľ�Ʊ���ˤʤ�Τ��������ʤ�����