1=5 1 by -1     

����� IB No.5����

�Ծ�;�ġ��ǥ��ǥ��롢���祤�ǥ����

&dotfill#dotfill;

�ޤ��ϵ�ˡ���顣���ε�ˡ�Ϻ��������Ѥ���Ȥ��� �櫓�ǤϤʤ��������Ȥ��Ȥ��Ӥ����Ѥ���Τǡ������ǽ񤤤Ƥ���:

���� 5.1   �Ĵ��� $R$ �ȡ�$R$ ����ʬ���� $S$ �ˤĤ��ơ� $S$ ��ޤ� $R$ �Υ��ǥ���Τ����Ǿ��Τ�Τ�¸�ߤ��롣

��� 5.1   �Ĵ��� $R$ �ȡ�$R$ ����ʬ���� $S$ �ˤĤ��ơ� $S$ ��ޤ� $R$ �Υ��ǥ���Τ����Ǿ��Τ�Τ�$S$ ����������� $R$ �Υ��ǥ��� �Ȥ�����$(S)$ ��ɽ����

�ݳ�̤ϡ����ڤ��ɽ���ʳ��ˤ� �����ղ�Ū�ʰ�̣������ʤ��Τ����̤Ǥ��뤬��������ˡ���㳰�Ǥ��롣

���� 5.2   �Ĵ��� $R$ ��ͭ����ʬ���� $T=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$ ���Ф��ơ�

$$(T)=R a_1+R a_2+R a_3+\dots+R a_n$$

������Ω�ġ� $(T)=(\{a_1,a_2,\dots,a_n\})$ �Τ��Ȥ����� $(a_1,a_2,\dots,a_n)$ �Ƚ񤯡�

( $R a_1+R a_2+R a_3+\dots+R a_n$ �Ȥ�

$$\{\sum_{j=1}^n c_j a_j ; c_j \in R\}$$

��ά���Ǥ��뤳�Ȥ����դ��褦��)

&dotfill#dotfill;

��� 5.2   �Ĵ��� $R$ ����������줿�Ȥ��롣

1. $R$ �� 0 �ʳ��������Ҥ��ʤ��ʤ顢 $R$ ������Ǥ���Ȥ�����
2. $R$ �� 0 �ʳ��θ��� $R$ �DzĵդǤ���Ȥ���$R$ ���ΤǤ���Ȥ�����

��������Τ�ɬ������Ǥ��롣

��� 5.3   �Ĵ��� $R$ �Υ��ǥ��� $I$ ($R\neq I$ )�ˤĤ��ơ�

1. $R/I$ ������Ǥ���Ȥ���$I$ �� $R$ ���ǥ��ǥ���Ǥ���Ȥ�����
2. $R/I$ ���ΤǤ���Ȥ���$I$ �� $R$ �ζ��祤�ǥ���Ǥ���Ȥ�����

������̾����ͳ��Ϥ�äȤ��ȤΤۤ��ǽҤ٤롣 ���������äƤϡ������㤬���פǤ��롣

�� 5.1  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $\{0\}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ǥ��ǥ���Ǥ��뤬�� ���祤�ǥ���ǤϤʤ���
2. �ǿ� $p$ ����������줿�Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ζ��祤�ǥ���Ǥ��롣
3. �������� $n$ ���ǿ��Ǥʤ��Ȥ��� $n {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���ǤϤ��뤬�� �ǥ��ǥ���ǤϤʤ���

��� 5.4   �ǿ� $p$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��(�����˽Ҥ٤��褦��)����� $p$ ���ΤǤ��롣 ������ ${\mathbb{F}}_p$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

����Ǥʤ��ĤǤϡ����ޤǤΡ־Ｑ�פ����Ѥ��ʤ����Ȥ�����:

���� 5.3   �� $R$ �ȡ����ξ�ΰ��ѿ�¿�༰ $f(X)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $d=\deg(f)$ ($f$ ���)�Ȥ����Ȥ���

1. $R$ ������ʤ�С� $f(r)=0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $r$ �� $d$ �İʲ��Ǥ��롣
2. $R$ ������Ǥʤ���С� $f(r)=0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $r$ �� $d$ �İʾ�¸�ߤ�����⤢�롣

(2)����:

1. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $f(X)=3 X$ �ϰ켡��������$0,2,4$ �Τɤ���������Ƥ� 0 �Ǥ��롣
2. $R={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $f(X)=(X-1)(X-2)$ ���󼡼�������$1,2,4,5$ �Τɤ���������Ƥ� 0 �Ǥ��롣

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

${\mathbb{F}}_{13}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/13{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ρ�0 �ʳ��γƸ��ˤĤ��ơ����εո����Ȥ�ơ� ����ɽ���������ʤ�����

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$x^{-1}$	1	7					2