1=3 1 by -1     

����� IB No.3����

�����Υơ���:

�Ĥ򥤥ǥ���dz�뤳�Ȥˤ�ꡢ�������Ĥ��뤳�Ȥ�����롣 ����ϡ�����������ʬ���dz�����˻��Ƥ��롣

�Ȥ��ˡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �dz�ä��ĤϽ��פǤ��롣

��� 3.1   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ���$I$ �Ϥ�����ʬ����Ǥ���Ȥ��롣 $I$ �� $R$ �����ǥ����Ǥ���Ȥϡ� ���ξ�郎����Ω�� �Ȥ��ˤ�����

1. $I$ �� $(R,+)$ ����ʬ���Ǥ��롣 ���ʤ����$I$ �� $R$ �βá���ˡ�ˤĤ����Ĥ��Ƥ��롣
2. $I$ �θ��� $R$ �θ��򱦤���ݤ��Ƥ⺸����ݤ��Ƥ��äѤ� $I$ �θ��ˤʤ롣 ���ʤ���� Ǥ�դ� $x \in I$ ��Ǥ�դ� $r\in R$ �ˤĤ��ơ�
   $$rx\in I , xr \in I$$
   ������Ω�ġ�

�� 3.1 (���ǥ������)  

1. $10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
2. ��äȰ��̤ˡ�$n>0$ �ˤ������ơ� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
3. ���˰��̤ˡ�Ǥ�դβĴ��� $R$ �� Ǥ�դ� $a\in R$ �ˤ������ơ� $a R$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
4. Ǥ�դδ� $R$ ���Ф��ơ� $\{0\}$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣

���� 3.1   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ���$I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ ���ΤȤ���

1. $R$ ��Ʊ�ʹط� $\sim$ �������Τ褦�ˤ��Ʒ�ޤ롣
   $$a\sim b {\Leftrightarrow} a-b \in I.$$

2. $R/\sim$ �ˡ�­�����򼡤Τ褦�ˤ�������롣
   $$\bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$$?$ �� $?$ �� $&sim#sim;$ �˴ؤ��� ���饹��ɽ����$$)$$
   ����­�����Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ�$R/\sim$ �Ϥ���­�����ˤĤ��ƲĴ����ˤʤ롣
3. $R/\sim$ �ˡ��������򼡤Τ褦�ˤ�������롣
   $$\bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}$$
   ���Τ������Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ�$R/\sim$ �Ϥ��Τ������ˤĤ���Ⱦ���ˤʤ롣
4. $R/\sim$ �Ͼ��������줿­��������������˴ؤ��Ĥ�ʤ��� �����⡢���δĤ�ñ�̸� $\bar{1}$ ����ġ�

��� 3.2   �������β���Τ�Ȥǡ� $R/\sim$ �˾�Τ褦��­������������������� �Ĥˤ�����Τ� $R/I$ �Ƚñ¤­¡ï¿½$R$ �� $I$ �ˤ�� ��;���ȸƤ֡�

�� 3.1 (��;�Ĥ���)  

1. Ǥ�դδ� $R$ ���Ф��ơ���;�� $R/0$ �� $R$ ��Ʊ��(�ĤȤ���Ʊ�����) �Ǥ��롣
2. ${\mathbb{C}}[X]/X{\mathbb{C}}[X]$ �� ${\mathbb{C}}$ ��Ʊ���Ǥ��롣

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}},{\mathbb{C}}[X]$ �μ��˽��פʴĤ���Ǥ��롣�ĤˤĤ��Ƥε����� ���������ɤ����Ϥ����δĤˤĤ��Ƥޤ������å����Ƥߤ�Τ��褤��

���� 3.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����ơ�

1. $10=1+1+\dots+1\quad ($$10$�� $1$ ��­��$)=0$ �Ǥ��롣
2. $2\times 5= 0$ �Ǥ��롣$($ ��������$2$ �� $5$ �� 0 �ǤϤʤ���$)$

����

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/?{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����Ƥϡ�ñ�� $10,2,5$ �Ƚ�����ˡ� $\overline{10},\overline{2},\overline{5}$ ���뤤�� $[10],[2],[5]$ ���ε����Ȥä��̾�ο��ȶ��̤��뤳�Ȥ�¿���� �������Ǥϡ��̾�δ��ФȤΰ㤤���⤭�Ф����뤿��ˡ� �虜�� $10,2,5$ ���Ƚ񤤤�����Τ褦���㤬����Τǡ� ���̤δ� $R$ �θ��Ȥ����㤨�� $300_R$ (�ޤ���ά���� ñ�� $300$ )��ͤ�����ˤϡ� ���줬 0 �����Τ�ʤ� �Ȥ������Ȥ��˰ռ����Ƥ���ɬ�פ����롣

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �������� $n$ ���ǿ����ɤ����ˤ�äƾ�����ä���롣 ������������뤿��ˡ��ޤ����դ�����Ѱդ��롣

��� 3.3   $R$ ���ĤǤ���Ȥ��롣$R$ �θ� $x$ �� $R$ ���������Ǥ���Ȥϡ� ������ĤΤ����ɤ��餫������Ω�Ļ��˸�����

1. $xy=0, y\neq 0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $y$ ��¸�ߤ��롣
2. $yx=0, y\neq 0$ ��ߤ��� $R$ �θ� $y$ ��¸�ߤ��롣

(�������$R$ ���Ĵ��λ��Ͼ����Ĥξ���Ʊ�����Ȥˤʤ롣) $R$ ��ñ�̸�����IJĴ��Ĥǡ������� 0 �ʳ��������Ҥ�����ʤ�����$R$ �� �����ȸ�����

���� 3.3   �������� $n$ ���ĤȤä���롣���ΤȤ���

1. $n$ ���ǿ��Ǥʤ���С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� 0 �ʳ��������Ҥ���ġ�
2. $n$ ���ǿ��ʤ�С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ������Ǥ��롣

�¤ϡ�$p$ ���ǿ��ʤ�С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ΤǤ��뤳�Ȥ��狼�롣����ˤ� ���������Ȥ��Ф褤��

���� 3.4   $R$ ������ǡ����� $R$ �θ��ο� $\char93 R$ ��ͭ�¤Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$R$ ���ΤǤ��롣�Ȥ��ˡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/p{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���ΤǤ��롣

�� 3.1   �ǿ� $p$ �ȡ�$p$ �dz���ڤ�ʤ����� $a$ �Ȥ��Ф��� $ax+py=1$ �Ȥʤ����� $x,y$ ��¸�ߤ��롣

����ݡ�������

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 3.1  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ� $x$ �ǡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ǹͤ���� $\bar{x}=\bar{1}$ ������Ω����� 5�Ĥ����ʤ�����(���ꥸ�ʥ�Ǥ��뤳�ȡ� ���Ϥ������󤢤������饱���������ʤ��� �礭�ʿ����򤢤����¾�οͤȽŤʤ�ʤ��Ǥ��礦��)
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/120{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ� $\bar{n}$ �ǡ��Ĥ��Τ褦�� ������Ʊ���ˤ�Ĥ�Τ��Ĥ����� �ºݤˤ�����������ߤ������Ȥ�Τ���ʤ�����
   1. $1<n<120$
   2. $n$ �� $120$ ������ǤϤʤ���
   3. $\bar{n}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/120{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �������ҤǤ��롣