�����IB���� No.1

���ιֵ�����Ⱦ�Ǥϡ����������ξ�������ɸ�Ȥ��롣

���� 1.1 (�Ĥν�Ʊ������)   �� $R$ �����̤δ� $S$ �ؤν�Ʊ������ $\phi:R\to S$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�����������Ω�ġ�

1. $\phi$ ���� $\operatorname{Image}\phi$ �� $S$ ����ʬ�ĤǤ��롣
2. $\phi$ �γ� $I=\operatorname{Ker}\phi$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
3. ��;�� $R/I$ �� $\operatorname{Image}\phi$ ��Ʊ���Ǥ��롣

��Ⱦ�Ǥϡ��Ĥ��Τμ��㡢�Ȥ��ˡְ켡���δġ� �ˤĤ��ƾܤ���������

�ԴĤ��������ʬ�Ĥ������

�ĤȤϡ�­�������������ȳݤ������Ǥ��뽸��Τ��ȤǤ��롣

��ʬ�ĤȤϡ���ʬ����Ǥ��äƴĤˤʤäƤ����ΤΤ��ȤǤ��롣

��� 1.1 (�Ĥ����)   ���� $R$ �����Ǥ���Ȥϡ�­�����ȸƤФ�����

$$+: R\times R \to R$$

�ȳݤ����ȸƤФ�����

$$\times :R\times R \to R$$

���������Ƥ��Ƽ������������������˸�����

1. $R$ ��­�����˴ؤ��ƲĴ�����ʤ���
2. $R$ ���ѤϷ��ˡ§����������
3. $R$ ��­�����ȳݤ�����ʬ��ˡ§�������������ʤ����Ǥ�դ� $a,b,c \in R$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�
   $$(a+b)\times c=a\times c+b\times c,\quad c\times (a+b)=c\times a+c\times b$$

4. $R$ ���Ѥ˴ؤ���ñ�̸�����ġ����ʤ�������� $u\in R$ ��¸�ߤ��ơ� ���٤Ƥ� $x\in R$ ���Ф��ơ� $xu=x$ ���� $ux=x$ ������Ω�ġ�

(�����ǽ��ä��褦�ˡ� ���(1)�ϸ���������С���$R$ �θ���­��������������������ǤǤ���� �Ȥ�����̣�Ǥ��롣

��������򽸤�����������Ĥ���褦�ˡ� ���򽸤�ƴĤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣 �Ĥ򰷤������Ϥ��ʤ��������δ��ĤǤ��롣 �ֿ��פ��¿�༰�פ����Ū��̾�ץ졼�䡼�Ǥ��롣 ���Ȥ��С����̤��¡��ѤˤĤ��ƤϷ��ˡ§��ʬ��ˡ§������ưŪ�� �ʤꤿ�äƤ��뤳�Ȥ�¿���� �ޤ��Ͻ�����̾������δ��Ĥ����ΤäƤ����٤��Ǥ�����:

�� 1.1   ���Τ�Τ��̾��­�������ݤ����ˤ�äƴĤˤʤ롣

1. (����)�������ΤΤʤ����� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. ͭ�������ΤΤʤ����� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. �¿����ΤΤʤ����� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
4. ʣ�ǿ����ΤΤʤ����� ${\mathbb{C}}$ .
5. �¿�����ʬ�Ȥ��ƻ���2���������������ΤΤʤ����� $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ .
6. (����)�¿���ΰ��ѿ�¿�༰���ΤΤʤ����� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ .

���� 1.1   Ǥ�դδ� $R$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥ��ʤꤿ�ġ�

1. $R$ ���¤˴ؤ���ñ�̸��ϡ�������ĤǤ��롣
2. $R$ ���Ѥ˴ؤ���ñ�̸��ϡ�������ĤǤ��롣

����. (1) �ˤĤ��Ƥϡ������dzؤ���Ϥ��Ǥ��롣(��������(2)��Ʊ�ͤξ����� ��ǽ�Ǥ��롣)

(2) $R$ ��ñ�̸���(���ݤ���)��Ĥ��ä��Ȥ��ơ������� $u,v$ �Ȥ�����

$$u \underset{(\text{$v$ ¤Ïñ°Ì¸µ})} {=} u v \underset{(\text{$u$ ¤Ïñ°Ì¸µ})}{=} v$$

���ʤ����ξ�Ԥϼ¤��������� $\qedsymbol$

���塢�� $R$ ���¤˴ؤ���ñ�̸��� 0 (���ˤ� $0_R$ )�Ƚ񤭡�$R$ ������ �ȸƤ֤ޤ����� $R$ ���Ѥ˴ؤ���ñ�̸��� $1$ (���ˤ� $1_R$ )�Ƚ񤭡� ñ�� ��$R$ ��ñ�̸��פȸ��ä��Ȥ��ˤϤ��� $1$ �Τ��Ȥ򤵤���

�Ĥ������ȡ�ñ�̸��ϡ������������ȸ��ä��Ȥ�������

�Ȥ��ˤϡ����������ΰ���ʬ���� �����̱���������פȤ������ͤФʤ�ʤ��Ȥ��⤢��:

��� 1.2 (��ʬ�Ĥ����)   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ��롣$R$ ����ʬ���� $S$ �� $R$ ����ʬ�ĤǤ���Ȥϡ�$S$ �����ξ������������ˤ�����

1. $S$ �� $R$ ��­��������������ή�Ѥ��뤳�Ȥˤ��ĤˤʤäƤ��롣
2. $S$ �� $R$ ��ñ�̸��򸵤Ȥ��ƴޤࡣ

�� 1.2   ���Τ�Τ�ʣ�ǿ����ΤΤʤ��� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�ĤǤ��롣

1. �������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. ͭ�������Τν��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. �¿����Τν��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .

�������ʤɤΡ����Τä���Τ򽸤᤿���� $S$ ���ä��Ȥ��ơ� ���줬�Ĥˤʤ뤫���ʤ�̤�����Ƚ��ˤޤ����פʤΤϡ� $S$ �ˤ�ɬ�פʥ��С���·�äƤ��뤫���Ȥ������ȤǤ��롣 �ʤˤ������С�����·�äƤ���С�̾����Τ��Ȥ����� ���Ȥϴ��Ĥ��إܤǤ�Ǿ��¤Τ��ȤϤ��Ƥ���롣

�� 1.3   �Ĥ��Τ�Τ�(�̾���¡��ѤˤĤ���)�ĤǤϤʤ���

1. $\{0,1\}$ .
2. 0 �ʾ�������ν��� $\mathbb{N}$ .
3. (���Τ�Τ���Τ�Τ�դ��᤿)���٤Ƥδ���ν��� $2 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$ .
4. �����������Ǥ���褦��ʣ�ǿ������� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$+\sqrt{-1} {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 1.1   $\frac{1}{2}$ �������ܤò¤¹¤Ù¤Æ½ï¿½ï¿½á¤¿ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$\frac{1}{2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{\frac{n}{2}; n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

��(�̾���¡��ѤˤĤ���)�ĤǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 1.2   �����ȵ������Ѥ� 0 �ʾ�Ǥ���褦��ʣ�ǿ��ν���

$$S =\{z\in {\mathbb{C}}; \Re(z)\Im(z)\geq 0\}$$

$$(=\{x+ \sqrt{-1} y; x,y\in \mbox{${\mathbb{R}}$} , xy\geq 0\})$$

��(�̾���¡��ѤˤĤ���)�ĤǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����