��ʬ��ʬ�س���AI������Ȳ���

���� 15.1   $f(x)=x^{100}$ �Ȥ����� ���ο� $\epsilon$ �ȼ¿� $a$ ��Ϳ����줿�Ȥ���Ȥ���

$$\vert x-a\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$

��ߤ��� $\delta>0$ ���ĵ󤲡��ºݤˤ��� $\delta$ �� �嵭�����������������Ȥ򼨤��ʤ����� (�������������ʤ����Ѥ��Ƥ��ɤ���)

(����)

$$\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{ (\vert a\vert+1)^{100} })$$

���֤����ɤ��� �ºݡ����ΤȤ��� $x-a=h$ �Ȥ����ơ�

$$\vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta$$

�Ȥ����

$$\vert h\vert<1,$$ (��)

$$(\vert a\vert+1)^{100}\vert h\vert<\epsilon.$$ (��)

���ʤꤿ�ġ������ (��)����

$$\vert h\vert \geq \vert h\vert^j \quad(j=1,2,3,\dots)$$ (��)

���ʤꤿ�ġ� ���������դ��� $\vert f(x)-f(a)\vert$ �򲼤Τ褦��ɾ��������ɤ���

$$\vert f(x)-f(a)\vert$$

$$\underset{\text{Æó¹àÄêÍý}}{=} \vert\sum_{j=1}^{100}\binom{100}{j}a^j h^{100-j}\vert$$

$$\leq \sum_{j=1}^{100}\binom{100}{j}\vert a^j h^{100-j}\vert$$

$$\underset{\text{(¤¦)}}{\leq} \vert h\vert\sum_{j=1}^{100}\binom{100}{j} \vert a\vert^j$$

$$\leq \vert h\vert\sum_{j=0}^{100}\binom{100}{j} \vert a\vert^j$$

$$= \vert h\vert (\vert a\vert+1)^{100}$$

$$\underset{\text{(¤¤)}}{<} \epsilon$$

$\qedsymbol$

(����)

�� ���ؤǤ���������Τ��� ${}_{n}C_{r}$ �Τ褦���ȹ礻�ε����� $\binom{n}{r}$ ���Ѥ��뤳�Ȥ�¿����������ͳ��

$$(1+x)^a=\sum_{j=0}^\infty \binom{a}{j} x^j$$

�Τ褦�ʼ��򰷤��ݤ����餫�ˤʤ롣

�� ��β����ǡ�

$$\delta=\min(1, \frac{\epsilon} {\sum_{j=1}^{100} \binom{100}{j} \vert a\vert^j })$$

�Ǥ������󹽤�ʤ�������ä�ť�����������ˤϤʤ뤬��

�� ñ�� $x\mapsto x^{100}$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥ������¤����ʤ��

1. $x \mapsto x$ ��Ϣ³�Ǥ��롣
2. $x \mapsto f(x)$ ��Ϣ³�� $x \mapsto g(x)$ ��Ϣ³�ʤ�� $x\mapsto f(x)g(x)$ ��Ϣ³�Ǥ��롣

�Ȥ������¤�����������ۤ����פ����� ���ä�����(2) �� $f(x)=x,g(x)=x$ �ξ���Ŭ�Ѥ��� $x\mapsto x^2$ ��Ϣ³�� Ʊ�ͤ� $x\mapsto x^3$ ��Ϣ³$,\dots$ �Ȥ�����������ʤ����ɤ���

���� 15.2   0 �Ǥʤ��¿� $a$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���

1. $$\vert x-a\vert< \delta_0 \implies x\neq 0$$
   ����­����褦�����μ¿� $\delta_0$ ����� ($a$ ���Ѥ���)�󤲤衣
2. $f(x)=\frac{1}{x}$ �Ȥ����� $\epsilon>0$ ��Ϳ����줿�Ȥ���Ȥ���
   $$\vert x-a\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon$$
   ��ߤ��� $\delta>0$ ���ĵ󤲡��ºݤˤ��� $\delta$ �� �嵭�����������������Ȥ򼨤��ʤ�����

(����)

(1)

$$\delta_0=\frac{\vert a\vert}{2}$$

�Ȥ������ɤ������ä��������ΤȤ� $\vert x-a\vert<\delta_0$ �ʤ�Ǥ�դμ¿� $x$ �� �Ф��ơ�

$$\vert x\vert=\vert a+(x-a)\vert\geq \vert a\vert-\vert x-a\vert>\vert a\vert-\delta_0=\frac{\vert a\vert}{2}\\$$

���ʤꤿ�����椨�� $x\neq 0$ �Ǥ��뤫�顣

(2)

$$\delta=\min(\frac{\vert a\vert}{2},\frac{\vert a\vert^2\epsilon}{2})$$

�Ȥ����Ф褤�� �ºݡ����ΤȤ��� $x-a=h$ �Ȥ����ơ�

$$\vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta$$

�Ȥ����

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert^2}{2} \epsilon,$$ (��)

$$\vert h\vert<\frac{\vert a\vert}{2}$$ (��)

���ʤꤿ�ġ����������դ��� $\vert f(a+h)-f(a)\vert$ �򲼤Τ褦��ɾ��������ɤ���

$$\vert f(a+h)-f(a)\vert$$

$$= \left\vert\frac{1}{(a+h)}-\frac{1}{a}\right\vert$$

$$= \left\vert\frac{a-(a+h)}{a(a+h)}\right\vert = \frac{\vert h\vert}{\vert a\vert\vert a+h\vert}$$

$$\leq \frac{\vert h\vert}{\vert a\vert(\vert a\vert-\vert h\vert)} \qquad( )$$

$$\underset{\text{(¤í)}}{\leq} \frac{2\vert h\vert}{\vert a\vert^2} \underset{\text{(¤¤)}}{<}\epsilon$$

$\qedsymbol$

���� 15.3   �ؿ� $f$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\in x \to f(x)=\max(3 x, 0)\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �����롣 ���ΤȤ� $f$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ǰ���Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����

(����) �ޤ�

$$f(x)=\frac{1}{2}(3 x + \vert 3 x\vert )$$

�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롣

Ǥ�դ����μ¿� $\epsilon$ ���Ф��ơ� ���μ¿� $\delta$ �� $\delta=\epsilon/3$ �����롣 ���ΤȤ��� $\vert x-y\vert<\delta$ �ʤ�Ǥ�դ� $x,y\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ������

$$\vert f(x)-f(y)\vert = \frac{1}{2}\vert(3 x + 3 \vert x\vert) - (3 y +3 \vert y\vert)\vert =\frac{1}{2}\vert 3 (x-y) + 3 (\vert x\vert - \vert y\vert)\vert$$

$$\leq 3/2 \vert x-y\vert + 3/2 \vert\vert x\vert - \vert y\vert\vert$$

$$\leq 3/2\vert x-y\vert +3/2 \vert x-y\vert= 3 \vert x-y\vert$$

$$< \epsilon.$$

$\qedsymbol$

ARRAY(0x8e73c50)ARRAY(0x8e73c50)ARRAY(0x8e73c50)