��ʬ��ʬ�س���AI���� No.12

���Τ��Ȥϡ���ñ�������ѽ��פǤ��롣

���� 12.1  

1. �ؿ� $f:X\to Y$ ����ñ�ͤʤ�С� $f$ �εռ�����¸�ߤ��롣
2. �դ� �ؿ� $f:X\to Y$ ���ռ�������Ĥʤ�С�$f$ ����ñ�ͤǤ��롣
3. �ؿ� $f$ �εռ����ϡ�¸�ߤ���а��Ū�Ǥ��롣

Ϣ³�ؿ��ξ��Ϥɤ��Ǥ������������ѿ��Ǥϴؿ���ñĴ���������ˤʤ롣

��� 12.1 (``1.3.6'')   �¿��Τ����� $I$ ��������줿�ؿ� $f$ ������ñĴ���ôؿ��Ǥ���Ȥϡ�

$$x_1,x_2\in I , x_1< x_2 \implies f(x_1)< f(x_2)$$

��ߤ����Ȥ��ˤ�����

���� 12.2 (``���ʽ�����1.16'')   $f$ ���Ķ�� $[a,b]$ ��ζ���ñĴ���ä�Ϣ³�ؿ��Ǥ���С�

$$f: [a,b] \to [f(a), f(b)]$$

�εմؿ�

$$f^{-1}: [f(a),f(b)]\to [a,b]$$

��¸�ߤ��롣 ����ˡ����� $f^{-1}$ ��Ϣ³�ǡ����Ķ���ñĴ���äǤ��롣

�ä������㤦��������Ϣ³���ˤĤ��Ƥ�Ҳ𤷤Ƥ������� (�Ȥ��Τ���ش�����ʬ���ΤȤ���)

��� 12.2   �¿�ľ������ʬ���� $X$ ��������줿�ؿ� $f: X\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �� ����Ϣ³�Ǥ����Ȥϡ�

$$\forall \epsilon>0 {\mathbf \exists \delta>0} ; \left( {\mathbf... ...ert y-x\vert<\delta \ \implies \ \vert f(y)-f(x)\vert<\epsilon \right) \right)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

�� $f$ �� $X$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�

$$\forall \epsilon>0 {\mathbf \forall x\in X} {\mathbf \exists \d... ...ert y-x\vert<\delta \ \implies \ \vert f(y)-f(x)\vert<\epsilon \right) \right)$$

��ɽ������뤳�Ȥ����դ��褦��$x$ �� $\delta$ ���о������ա�

�� 12.1 (����Ϣ³�ʴؿ��Ȥ����Ǥʤ��ؿ�)  

1. $$f_1:$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ni x\to x^2 \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$
   �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ϣ³��������Ϣ³�ǤϤʤ���

2. $$f_2:$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ni x\to \sin(x) \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$
   �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���Ϣ³�ǡ�����Ϣ³�Ǥ⤢�롣

�����������ֽ̾�ˡ����ε���Ǥ��롣�����϶��ʽ�� ���ȤΤ��ȡ�

���� 12.3   �Ķ�� $[a,b]$ ���Ϣ³�ؿ� $f$ ������Ϣ³�Ǥ��롣

���� 12.1   �ؿ��ؿ�

$$f:$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$\ni x\to e^x \in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$

�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ǥϰ���Ϣ³�ǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ����� (â�����ؿ�ˡ§

$$e^x e^y=e^{x+y}$$

�� $e^0=1$ , $e^1=e>2$ �Ͼ����ʤ����Ѥ��Ƥ��ɤ����ޤ�����Ǽˡ�ˤ���ưפ������뼰

$$e^n >1+n \qquad (n=1,2,3,\dots)$$

���Ѥ����ɤ���)