��ʬ��ʬ�س���AI���� No.10

��� 10.1   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ���$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ���Ȥϡ�

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

�˸¤�����ˤ�ꡢ�������ϼ��Τ褦�˸����������롣

$$\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; (0< \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$$

$x=a$ �ξ����θ�˲ä���ȡ����Τ褦���������ʤꤿ�Ĥ��Ȥ��狼�롣

���� 10.1   $f$ �ϼ¿� $a$ �ζ᤯��������줿�ؿ��Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ��� $f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥϡ����ξ���Ʊ�ͤǤ��롣

(��) $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0; ( \vert x-a\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon)$

�������ǡ� $\vert x-a\vert$ �� $x$ �� $a$ �ε�Υ�� $\vert f(x)-f(a)\vert$ �� $f(x)$ �� $f(a)$ �ε�Υ�Ǥ��뤳�Ȥ����դ��롣��������ˤ��Ϣ³���Ρ�����פ� ¿�ѿ��ؿ��䡢��Υ���֤Τ������μ�����Ϣ³��������� ���Τޤް��̲����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��������ϡ������פǤϤ��뤬�� Ϣ³��������ˤ����� ``$x=a$ '' �Ρ��㳰Ū�ʰ����פ�������Ƥष�� �����ʷ��򤷤Ƥ��롣�����Ǥ��ιֵ��ǤϤ�äѤ�Ϣ³����Τ����ˤ� ���������(��)��Ƚ�ꤹ�뤳�Ȥˤ��롣

���� 10.1   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���������줿�ؿ� $f(x): x\to x^4-5 x^3$ �ˤ������ơ�

1. $$\vert x-5\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(5)\vert <0.1$$
   �����������ο� $\delta$ �����󤲡� �ºݤˤ��줬�ʤꤿ�Ĥ��Ȥ�Τ���ʤ�����

2. $$\vert x-5\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(5)\vert <0.01$$
   �����������ο� $\delta$ �����󤲡� �ºݤˤ��줬�ʤꤿ�Ĥ��Ȥ�Τ���ʤ�����

3. $f(x)$ �� $x=5$ ��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ� (��)��Τ���뤳�Ȥˤ��������ʤ�����

�� $\forall, \exists, \implies$ �����ꡣ

���̤ˡ�

• �� $\forall x P(x)$ �� ������� �� $\exists x (\neg P(x))$ �� �Ǥ��롣
• �� $\exists x P(x)$ �� ������� �� $\forall x (\neg P(x))$ �� �Ǥ��롣
• �� $P \implies Q$ �� ������� �� $P$    ���� $(\neg Q)$ �� �Ǥ��롣

�������äơ�(��)�����ꡢ���ʤ���� ��$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥʤ��פ��Ȥϡ� ���Τ褦�˽�ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣

(��) $\exists \epsilon>0; \forall \delta>0 \ ( \vert x-a\vert<\delta \$    ���� $\ \vert f(x)-f(a)\vert\geq \epsilon)$

���� 10.1   �ؿ� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��

$$% latex2html id marker 860f(x)= \begin{cases} \sin(1/x) & ... ...q 0 \text{ ¤Î¤È¤­ })\\ 0 & (x =0 \text{ ¤Î¤È¤­ }) \end{cases}$$

���������Ȥ��� $f$ �� $x=0$ ��Ϣ³�ǤϤʤ����Ȥ�������ʤ�����