��ʬ��ʬ�س���AI���� No.9

���� 9.1 (``���ʽ�����1.9'')   3�Ĥ� �ؿ� $f,g,h$ ���� �¿� $a$ ��ޤ��� $D$ ���������Ƥ��ꡢ $x\in D$ $(x\neq a)$ �ǡ� $f(x)\leq g(x)$ �Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $x\to a$ �ΤȤ��� $f(x),g(x)$ �ζ˸¤��Ȥ��¸�ߤ���С�
   $$\lim_{x\to a} f(x) \leq \lim_{x\to a} g(x).$$

2. $x\in D (x\neq a)$ ���ϰϤǡ� $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ �Ǥ��äơ� �ʤ�����
   $$\lim_{x\to a } f(x)=\lim_{x\to a} g(x) \quad($$�����������ͤ� $A$ �Ȥ���$$)$$
   ���ʤꤿ�ĤȤ���ȡ� $h(x)$ �� $x\to a$ �ΤȤ��ζ˸¤�¸�ߤ��ơ� $A$ ����������

���� 9.2   $f,g$ �� $a$ �ζ᤯���������Ƥ��ꡢ

$$\lim_{x\to a}f(x)=A,\quad \lim_{x\to a}g(x)=B$$

�����줾��¸�ߤ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $\lim_{x\to a}(c_1 f(x)+c_2 g(x))=c_1 A +c_2 B$ . (� $c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .)
2. $\lim_{x\to a}( f(x)\cdot g(x))= A B$ .
3. $B\neq 0$ �ΤȤ����������μ¿� $c$ ��¸�ߤ��ơ� $g(x)$ �� $(a-c,a+c)$ ��(�������Ƥʤ�����) 0 �ʳ����ͤ�Ȥꡢ
   $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}.$$

���� 9.1   $f(x)=x^3+3 x- 5$ �Ȥ��������ΤȤ������μ¿� $\epsilon$ �ˤ������ơ�

$$\vert x-1\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(1)\vert<\epsilon$$

��ߤ����褦�����ο� $\delta$ ���㤢���ơ��ºݤ����Τ���ʤ�����

̿�� 9.3   �ؿ� $f(x)$ �� $a$ �ζ᤯���������Ƥ��ꡢ

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��롣 ���ΤȤ������� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� $a$ �˼�«����С�

$$\lim_{n\to \infty}f(a_n)=f(a)$$

�Ǥ��롣

̿�� 9.4   �ؿ� $f(x)$ �� $a$ ��ޤ೫��� $D$ ����������Ƥ��ꡢ����¿� $A$ �ˤ�������

��$a$ �˼�«���� $D$ ���Ǥ�դο��� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �ˤ������ơ�

$$\lim_{n\to \infty}f(a_n)=A$$

���ʤꤿ�ġ���

��ߤ����С�

$$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$

�Ǥ��롣