��ʬ��ʬ�س���AI���� No.6

���� 6.1 (``����1.6''[��ֽ̾�ˡ])   ����֤��� $I_n$ �ˤĤ��ơ� $I_1\supset I_2 \supset I_3 \supset I_4 \supset \dots$ ���ʤꤿ�ĤȤ��롣���ΤȤ���

$$\bigcap_{n} I_n \neq \emptyset.$$

����ˡ� $I_n$ ��Ĺ���� $\operatorname{length}(I_n)$ �Ƚ񤯤Ȥ���

$$\lim_{n\to \infty}(\operatorname{length}(I_n))=0$$

�Τʤꤿ�Ĥʤ�С� $\bigcap_{n} I_n$ �Ϥ��������Τߤ���ʤ롣

��� 6.1   ���� $\{a_n\}$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ��� �������������� $n_1<n_2<n_3\dots$ �����ơ�

$$\{a_{n_j} ; j=1,2,3,\dots\}=\{a_{n_k}\}_{k=1}^\infty =\{a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dots\}$$

�� $\{a_n\}$ ����ʬ��Ȥ����� (���ʽ�� 1.2.6 �Ͼ����񤭴ְ㤤������Τ����ա�)

�㤨��

$$\{a_1,a_3,a_5,a_7,a_9,a_{11}, a_{13}\dots\}=\{a_{2 k-1}\}_{k=1}^\infty$$

��

$$\{a_2,a_3,a_5,a_7,a_{11},a_{13},\dots\}$$

($\{a_n\}$ �Τ����ǿ����ܤΤ�Τ�Ȥ���������),

$$\{a_2,a_4,a_8,a_{16},a_{32},a_{64}, a_{128}\dots\}=\{a_{2^k}\}_{k=1}^\infty$$

�ʤɤϤ��٤� $\{a_n\}$ ����ʬ��Ǥ��롣

���� 6.2 (``����1.9'')   [�ܥ�ĥ��Ρ��磻���륷��ȥ饹] ͭ���ʿ���ϡ���«������ʬ�����ġ�

���� 6.1  

���� $\{a_n\}$ ��

$$a_n= \begin{cases} \frac{2 n + 5}{n^3+3 n + 5}& \text{($n$ ... ... 5}{n^3+3 n + 5}+4& \text{($n$ ¤¬¾åµ­°Ê³°¤Î¤È¤­¡£)} \end{cases}$$

��������롣���ΤȤ���

1. $\{a_1,a_2,a_3,\dots,a_{15}\}$ �Υ���դ��ޤ�������դ������ʤ�����
2. $\{a_n\}$ ����ʬ�� $\{a_{n_j}\}$ �ǡ� $1$ �˼�«�����Τ���� �ºݤ˵�(������ʬ�ξ����Ϻ���Ͼ�ά�����ɤ�)��
   $$j>N \implies \vert a_{n_j} -1 \vert<\frac{1}{512}$$
   �������� $N$ ���ͤ����󤲤ʤ���(������Ͼ�����񤯤��ȡ�)��