��ʬ��ʬ�س���AI���� No.3

��«��������������� 2.4�ǽҤ٤��̤�Ǥ��롣 ����Ǥ���� 2.4 ��Ƚ��ˡ�������� $c$ ��ͣ��Ĥ���������

���� 3.1   ���� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ��(����ͤ��Τ��᤿�Ȥ���) $c$ �˼�«���� (�̤οͤ��Τ��᤿�Ȥ���) $c'$ �ˤ��«����ʤ顢

$$c=c'$$

�Ǥ��롣�Ĥޤꡢ����μ�«���¸�ߤ���Ȥ�����ͣ��Ĥ����ʤ���

�����ǡ��Ĥ��Τ褦��������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

��� 3.1   ���� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ ������� $c$ �˼�«����Ȥ���

$$\lim_{n\to \infty} a_n=c$$

�Ƚ񤤤ơ�$c$ �Τ��Ȥ� $\{a_n\}$ ���˸��ȸƤ֡�

$\bullet$ ����������

$$\vert a+b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert \qquad(\forall a,\forall b\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$)$$

���� 3.2 (``����1.2'')  

1. $$\lim_{n\to \infty} a_n =\alpha \ {\Leftrightarrow}\ \lim_{n\to \infty} \vert a_n -\alpha\vert=0$$

2. $a_n \leq b_n \quad(\forall n)$ �ǡ����� $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ �� ��«����ʤ顢
   $$\lim_{n\to \infty} a_n \leq \lim_{n\to \infty} b_n$$

3. $a_n \leq c_n \leq b_n \quad(\forall n)$ �ǡ����� $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ �� Ʊ���� $\alpha$ �˼�«����ʤ顢 $\{c_n\}$ �� $\alpha$ �˼�«���롣

���� 3.3 (``����1.3'')   ��«��������ͭ���Ǥ��롣

���� 3.4 (``����1.4'')   �¿��� $\{a_n\}$ , $\{b_n\}$ �Ϥ��줾���«����Ȥ��롣���ΤȤ���

1. �ֶ˸¤�Ȥ�פȤ������������Ǥ��롣���ʤ���� $\forall \lambda,\mu\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ������ $\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n)$ �ϼ�«���ơ�
   $$\lim_{n\to \infty} (\lambda a_n+ \mu b_n) = \lambda (\lim_{n\to \infty} a_n) +\mu (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

2. �ּ¿��ξ�ˡ��Ϣ³�Ǥ��롣��
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) (\lim_{n\to \infty} b_n)$$

3. �¿��ν�ˡ�ϡ�Ϣ³�פǤ��롣 ��äȾܤ��������ȡ� $\lim_{n\to \infty} b_n\neq 0$ �ʤ顢 ͭ�¸Ĥ��㳰������� $b_n\neq 0$ �Ǥ��äơ�
   $$\lim_{n\to \infty} (a_n /b_n) =(\lim_{n\to \infty} a_n) /(\lim_{n\to \infty} b_n).$$

��� 3.2   �¿��� $\{a_n\}$ ��ñĴ���äǤ���Ȥϡ�

$$\forall n \forall m (n \geq m \implies a_n \geq a_m)$$

���ʤꤿ�ĤȤ��ˤ�����

���������ϡ����Το�����̤�Το� ($e$ �ʤ�) ����Ф��Ȥ���ͭ���Ǥ��롣

���� 3.5 (``����1.5'')       ï¿½ï¿½ï¿½Í­ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ã±Ä´ï¿½ï¿½ï¿½Ã¿ï¿½ï¿½ï¿½Ï¼ï¿½Â«ï¿½ï¿½ï¿½ë¡£

���� 3.1   �¿��� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� $c$ �˼�«����Ȥ���

$$\{a_n^3+ 5 a_n^2+7\}_{n=1}^\infty$$

�ϼ�«����ȸ��������������������ʤ�Ф��μ�«�����ͳ�򡢸����ʤ��ʤ�� ȿ�����ʤ����� (����: ����ιֵ��Ǿ������������򤿤��Ѥ���ΤǤϤʤ��� ��«���������ä� ($\epsilon$ -$N$ ��ˡ��)�������뤳�ȡ�)