���ܸ쵻ˡ No.5

$\forall$ �� $\exists$ (����2)

$$\forall x P(x)$$

���������ˤϡ����Ƥ� $x$ �ˤĤ��ư��Ƥ˥����å�����ɬ�פ����롣 (�������äơ����̤ˤϲ��餫�ι�̯�ʡ�¿���Υ�Τ򤵤Ф��ץƥ��˥å��� ɬ�פˤʤ롣)

��: $\forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((4> z^2) {\Leftrightarrow} (2 >z))$ ���������� �ʤ��ʤ顢Ǥ�դ�����ͭ���� $z$ ���Ф��ơ�

$$4>z^2 {\Leftrightarrow} (2-z)(2+z)>0 {\Leftrightarrow} 2-z>0 {\Leftrightarrow} 2>z$$

������Ǥ��롣

$$\exists x P(x)$$

���������ˤϡ���Ĥ��ɤ�������򤢤�����ɤ��� ���ΤȤ��ϡ��Ǥ����������Ū���㤬�褤��

��: $\forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((3> z^2) {\Leftrightarrow} (2 >z))$ ���������ʤ��� ���ʤ����

$$\exists z\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$_{>0} ((3> z^2) \not\Leftrightarrow (2 >z))$$

�Ǥ��롣�ʤ��ʤ顢����ͭ���� $z=1.8$ ��ͤ���ȡ� $3>1.8^2$ �ǤϤʤ�( $1.8^2=3.24$)�Τ� $2>1.8$ ������Ǥ��롣

���̤ˡ� $\forall x P(x)$ ������� $\exists x (\neg P(x))$ �Ǥ��ꡢ $\exists x P(x)$ ������� $\forall x (\neg P(x))$ �Ǥ��롣 �������äơ��㤨��

$$\left( \neg(\forall x \exists y \forall z P(x,y,z)) \right) = \left( \exists x \forall y \exists z (\neg P(x,y,z)) \right)$$

�Ȥ������ˡ� $\forall, \exists$ ��ޤ��̿��� ��������˴�ñ���ķ���Ū�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

������ʣ���ˤʤäƤ����褦�˴�����줿�顢 ���ä��󵭹�� ��ĥ��񤤤Ƥߤ���������Ȥ狼��䤹���ʤ뤳�Ȥ�¿����

�ޤ�����������Τ褦�ˡ����Ĥ��˶��ڤäƹͤ���Τ��ˡ�Ǥ��롣

�������˰�����դ򤷤Ƥ�������

̿�� 5.1   ���̤ˡ����μ¿� $a,b$ ������

$$\forall z\in$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$_{>0} ((a> z^2)\ \Leftrightarrow \ (b >z))$$

������Ω�ĤΤ� $a=b^2$ �ΤȤ��ǡ������⤽�ΤȤ��˸¤롣

���� 5.1   ��������Ǥ� $\sqrt{3}$ ��̵�����Ǥ��뤳�Ȥ�����ʤ����Ѥ����ɤ��� �ʲ��˵󤲤뤽�줾���̿��Ͽ���������������Ȥ⵶���������� ���줾����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����

1. $\exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} \forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((3> z^2) {\Leftrightarrow} (y >z))$

2. $\forall x\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} \exists y\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} \forall z\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$_{>0} ((x> z^2) {\Leftrightarrow} (y >z))$