���ܸ쵻ˡ No.4

$\forall$ �� $\exists$

̿��ˤ��ѿ���ޤ��Τ����롣 ���Ȥ���

$$P(n)=(n^2+3n-9>0)$$

�Ȥ�

$$P(n)=($$$n^2+n+41$ ���ǿ��Ǥ���$$)$$

�Ȥ��Ǥ��롣������̿��� $n$ ��Ϳ���뤴�Ȥ˿��������� ���ꤵ��롣

��� 4.1   �ѿ� $x$ ��ޤ�褦��̿�� $P$ �ˤ������ơ�

1. $\forall x (P(x))$ �� �֤ɤΤ褦�� $x$ �ˤ������Ƥ⡢$P(x)$ ������Ω�ġ� �Ȥ�����̣�Ǥ��롣
2. $\exists x (P(x))$ �� �־��ʤ��Ȥ��Ĥ� $x$ �ˤ������ơ�$P(x)$ ������Ω�ġ� �Ȥ�����̣�Ǥ��롣

����Ū�ˤϡ�$\forall$ , $\exists$ ������������������ȡ� �������δ��Ĥ��ε�����Ȥ߹�碌�뤳�Ȥˤ�ꡢ���ؤ� ���٤Ƥθ��դ򵭹���������Ǥ��롣

�㤨�ФĤ���ʸ�ϡ��ֿ���Ū��Ǽˡ�פ�ɽ��������ΤǤ��롣

$$\forall S(0\in S$$ and $$(\forall n\in\mathbb{N}(n\in S\implies (n+1)\in S)) \implies \mathbb{N}\subset S)$$

���ؤˤ����������ϡ� �����ε�����˴ؤ����ñ��ʷ׻��פǤ��롣 ���������äƺ���ϡ��Ĥ��Τ��Ȥ����դ��褦��

�о��ʪ($x$ �� $y$ �ʤɤ��ѿ�)�νФƤ�����֤� ����Ǥ��롣

�㤨�С� $J=\{$���������祭���ѡ�$\}$ , �ˤ������ơ� $x\succ y$ �򡢡�$x$ �� $y$ ��궯���פȤ����դ����������ȡ�

$$\forall x\in J (\exists y\in J ( y \succ x))$$

�Ͽ���̿�������

$$\exists y\in J (\forall x\in J( y \succ x))$$

�ϵ���̿��Ǥ��롣

���� 4.1  

$$P:\forall x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(\exists y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(x>y^2))$$

$$Q: \exists y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}(\forall x\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}( x>y^2))$$

�Ȥ����Ȥ���$P$ ,$Q$ �Ͽ���������������Ȥ⵶���������� ���줾����ͳ��Ҥ٤������ʤ�����