����ر齬 I ���� No.5

���� 5.1   $I$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ȥ��ޤ������λ���

1. $a,b$ �� $I$ �θ��ǡ�$a$ �����ο��ʤ�С�$b$ �� $a$ �dz�ä�;�� $r$ �� $I$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $I=0$ �ΤȤ�������ȡ�$I$ �θ���������ǺǾ��Τ�Τ�¸�ߤ��ޤ�������� $a_0$ �Ȥ����ȡ�$I$ ��Ǥ�դθ��� $a_0$ �dz���ڤ�뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $I=a_0 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �򼨤��ʤ�����

���� 5.2   $I$ �� ${\mathbb{C}}[X]$ �Υ��ǥ���Ȥ��ޤ������λ���

1. $f,g$ �� $I$ �θ��ǡ�$f$ �� 0 �Ǥʤ��ʤ�С�$g$ �� $f$ �dz�ä�;�� $r$ �� $I$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $I=0$ �ΤȤ�������ȡ�$I$ �θ�����Ǽ������Ǿ��Τ�Τ�¸�ߤ��ޤ�������� $f_0$ �Ȥ����ȡ�$I$ ��Ǥ�դθ��� $f_0$ �dz���ڤ�뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $I=f_0 {\mathbb{C}}[X]$ �򼨤��ʤ�����

���� 5.3  

1. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ�������� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ����ʬ���򤹤٤Ƶ��ʤ�����
3. $({\mathbb{C}}[X],+)$ ����ʬ���ǡ� ${\mathbb{C}}[X]$ �Υ��ǥ���ǤϤʤ���Τ����󤲤ʤ�����

���� 5.4   $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ($1$ �λ��躬)�Ȥ��ޤ������λ���

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\ma... ...Z}}$}}\omega^2=\{a+b\omega+c\omega^2;\quad a,b,c \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$$

�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�ĤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� (��ˡ�˴ؤ�������) ���δĤϡ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˡ�$\omega$ ���դ��ä����ĤˤʤäƤ��롣 �����ǡ����δĤΤ��Ȥ� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\omega]$ �Ȥ�����

���� 5.5  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\omega]$ (���仲��) ��ñ��������ʤ�����
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{3}]={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{3}$ ��ñ��������ʤ�����

���� 5.6   $a$ ��ʣ�ǿ��Ȥ��ޤ������ΤȤ���

1. ���ѿ�¿�༰ $f(X)$ �� $X-a$ �dz�ä��Ȥ���;��� $f(a)$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ${\mathbb{C}}[X]/(X-a){\mathbb{C}}[X]$ �Τ��٤Ƥθ��ϡ�����ʣ�ǿ� $c$ (��Ʊ����)�����������Ȥ򼨤��ʤ�����

�� $R$ ���Ф��ơ����θ�����ʬ�ˤ�Ĺ����ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��� �̾�ΰ�̣���¡������Ѥ�(�����������äƤ���Ȥ������Τ�Ȥ�) �������ơ���ǯ���ǽ�����������Τ��ʤ����ʬ�����Τޤ� ��������

$$M_n(R)=\{$$$R$ �θ�����ʬ�ˤ�� $n×n$ ����$$\}$$

�Ȥ����ȡ������(�Ĵ��ǤϤʤ�)�ĤǤ��롣 ����ñ�̸��� $1_n$ ($n$ ����ñ�̹���).

���� 5.7   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ�����ʬ�ˤ�Ĺ������

$$\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 \\ 4& 5 & 6\\ 7& 8 & 0\\ \end{pmatrix}$$

��׻������Ǥ��������ñ�ʷ������ʤ������ʬ�������ͤ� 14�ʲ��������ˤ�ä�ɽ����Ƥ�����ˤʤ�褦��ľ���ʤ�����

���� 5.8   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.9   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/14{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

���� 5.10   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/16{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����׻����ʤ�����

(����ΰʲ�������ǤϹ��󼰤�ȥ졼����������ͳ���Ѥ����ɤ���)

���� 5.11   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ������Ǥˤ�Ĺ���

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix}$$

�εչ����¸�ߤ������������ ��ͳ��󤲤������ʤ����� (�ҥ��:$A$ �εչ��� $B$ �����ä��Ȥ��롣$AB=1_3$ (3����ñ�̹���). ξ�դ� ���󼰤�Ȥ��...)

���� 5.12   �ɤ������ $n$ ���Ф��Ƥ⡢

$$AB-BA=1_n$$

��ߤ������� $A,B \in M_n({\mathbb{C}})$ ��¸�ߤ��ʤ����Ȥ򼨤��ʤ����� (�ҥ��:�ȥ졼��)

���� 5.13   �ǿ� $p$ �ˤĤ��ơ� $A,B\in M_p({\mathbb{F}}_p)$ �ǡ�

$$AB-BA=1_p$$

����������Τ����󤲤ʤ����� (���ʤ�����Ǥ��롣$p=3,5$ �ΤȤ��ˤޤ���Ƥߤ���ɤ������Τ�ʤ���)