next up previous
Next: About this document ...

    

����ر齬 I ���� No.3

\fbox{¥¤¥Ç¥¢¥ë¤ÎÄêµÁ¡¢¾ê;´ÄÊÔ}

��� 3.1   �� $ R$ ����ʬ���礬 $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ���Ȥϡ�
  1. $ I$ �� $ (R,+)$ ����ʬ�÷��Ǥ��롣
  2. $ r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$
�����郎����Ω�ĤȤ��˸����ޤ���

���� 3.1   �� $ R$ ����ʬ���� $ \{0\}$ �� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(�̾� $ \{0\}$ ��ñ�� 0 �Ǥ���路�ޤ���)

���� 3.2   �Ĥδ֤ν�Ʊ�� $ f:R\to S$ �γ� $ \operatorname{Ker}(f)$ �� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.3   $ I,J$ ���� $ R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�$ I\cap J$ �� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.4   $ I,J$ ���� $ R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�

% latex2html id marker 1198
$\displaystyle I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\}
$

�� $ R$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.5   $ I,J$ ���Ĵ��� $ R$ �Υ��ǥ���ʤ�С�

$\displaystyle IJ=\{\sum_i a_ib_i ($ͭ����$\displaystyle ); a_i\in I, b_i \in J \}$   (����)

�� $ R$ �Υ��ǥ���Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� (����): $ I J$ �ϡ�$ I$ , $ J$ �θ�Ʊ�Τ��Ѥν���פǤϤʤ���

���� 3.6   �Ĵ��� $ R$ ���������

$\displaystyle P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\}
$

�� $ R$ �Υ��ǥ���Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 3.2   ñ�̸�����IJĴ��� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�Ȥϡ�

% latex2html id marker 1240
$\displaystyle a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad
(a_n,\dots,a_0 \in R)
$

�Τ褦��ɽ������ΤΤ��ȤǤ���$ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�����ΤϴĤ�ʤ��ޤ��� ����� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�Ĥȸ��äơ�$ R[X]$ �Ǥ���路�ޤ��� �ʲ����ݤʤΤǡ԰��ѿ�¿�༰�դ��ФƤ�������Ǥϡ� $ R$ ��ñ�̸�����IJĴ��ĤǤ���Ȳ��ꤷ�Ƥ��뤳�Ȥˤ��ޤ���

���� 3.7 (ñ�̸�����IJĴ�)   �� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $ f(X)$ �� $ R$ �θ� $ a$ �ˤĤ��ơ�$ f(a)=0$ �ʤ�С�

% latex2html id marker 1265
$\displaystyle f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X]
$

�Ȥ���碌�뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 3.3   �����������Τ�˺��ޤ��������� $ R$ �θ� $ a$ �ϡ�

$\displaystyle ab=0
$

�ʤ� % latex2html id marker 1278
$ b(\neq 0)\in R$ ��¸�ߤ���Ȥ����������ҤȸƤФ�ޤ����������Ҥ�Ʊ�ͤ��������ޤ����Ĵ��ĤǤϡ������ζ��̤�����ʤ��Τǡ�ñ�������ҤȸƤӤޤ��� �����Ҥ� 0 �����ʤ��Ĵ��Ĥ�����ȸƤӤޤ���

���� 3.8   ���� $ R$ ��� ���ѿ�¿�༰ $ f(X)$ �ϡ�$ R$ �˹⡹ $ d$ �Ĥ�����������ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.9   �Ĵ��� $ R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰ $ f(X)$ �η����Τ������������Ҥ�����С�$ f(X)$ �� $ R[X]$ ���������ҤȤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 3.10   ͭ������ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ������ѿ�¿�༰�� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ �μ��Υ��ǥ��� $ I,J$ ��ʤ�٤���ñ����������ɽ���ʤ�����

$\displaystyle I=(X+Y(X+1),Y,X^2), J=(X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5)
$

���� 3.11   �Ķ�� $ [0,1]$ ���Ϣ³�ؿ����ΤΤʤ��� $ R=C([0,1])$ ��ͤ��ޤ������Τ�Τ� $ R$ �Υ��ǥ���ˤʤ�ޤ�����
  1. % latex2html id marker 1332
$ S_1=\{ f\in R; \quad f(1/2)=0 \}$
  2. % latex2html id marker 1334
$ S_2=\{ f\in R; \quad f(1/2)=1 \}$
  3. % latex2html id marker 1336
$ S_3=\{ f\in R; \quad f(x)=0$    �����٤Ƥ� $x&isin#in;[1/2,1]$ �ˤĤ�������Ω��$ \}$
  4. % latex2html id marker 1339
$ S_4=\{ f\in R; \quad f(x)=1$    �����٤Ƥ� $x&isin#in;[1/2,1]$ �ˤĤ�������Ω��$ \}$

���� 3.12   ����� $ (0,1)$ ��� Ϣ³�ؿ����ΤΤʤ��� $ R=C(0,1)$ ����ʬ����

$\displaystyle S=\{f\in R; \lim_{x\to 0} f(x)=0\}
$

�� $ R$ �Υ��ǥ���ˤʤ�ޤ�����

���� 3.13  
  1. ����� $ (0,1)$ ��� Ϣ³�ؿ����ΤΤʤ��� $ R=C(0,1)$ ����ʬ����

    $\displaystyle S=\{f\in R;$   $f$ �� $(0,1)$ ��ͭ��$\displaystyle \}
$

    �� $ R$ ����ʬ�ĤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
  2. $ S$ ����ʬ����

    $\displaystyle I=\{f\in S; \lim_{x\to 0} f(x)=0\}
$

    �� $ S$ �Υ��ǥ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 3.1   $ R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ���$ I$ �ò¤½¤Î¥ï¿½ï¿½Ç¥ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ ���ΤȤ���
  1. $ R$ ��Ʊ�ʹط� $ \sim$ �������Τ褦�ˤ��Ʒ�ޤ롣

    $\displaystyle a\sim b  {\Leftrightarrow} a-b \in I.
$

  2. $ R/\sim$ �ˡ�­�����򼡤Τ褦�ˤ�������롣

    % latex2html id marker 1392
$\displaystyle \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$?$ �� $?$ �� $&sim#sim;$ �˴ؤ��� ���饹��ɽ����$\displaystyle )
$

    ����­�����Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ�$ R/\sim$ �Ϥ���­�����ˤĤ��ƲĴ����ˤʤ롣
  3. $ R/\sim$ �ˡ��������򼡤Τ褦�ˤ�������롣

    $\displaystyle \bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b}
$

    ���Τ������Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ�$ R/\sim$ �Ϥ��Τ������ˤĤ���Ⱦ���ˤʤ롣
  4. $ R/\sim$ �Ͼ��������줿­��������������˴ؤ��Ĥ�ʤ��� �����⡢���δĤ�ñ�̸� $ \bar{1}$ ����ġ�

��� 3.4   �������β���Τ�Ȥǡ� $ R/\sim$ �˾�Τ褦��­������������������� �Ĥˤ�����Τ� $ R/I$ �Ƚñ¤­¡ï¿½$ R$ �� $ I$ �ˤ���;�ĤȸƤ֡�

���� 3.14 (��������������Ȥ��ư���)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Υ��ǥ��� $ I=10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤĤ��ơ� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �˾嵭����Τ褦��Ʊ�ʹط��ò¤¤¤ì¤¿ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½
  1. $ 1$ ��Ʊ�ͤǤ���褦�� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ���������Ȥ�� 2�Ĥ��Ĥ����ʤ����� ������ $ a_1,\dots,a_4$ �Ȥ��롣
  2. $ 3$ ��Ʊ�ͤǤ���褦�� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ���������Ȥ�� 2�Ĥ��Ĥ����ʤ����� ������ $ b_1,\dots,b_4$ �Ȥ��롣
  3. ��Τ褦�ˤ��Ƽ�ä� $ a_i,b_j$ �����Ƥ��ȹ礻(16�̤�) �ˤĤ��ơ�

    $\displaystyle a_i+b_j
$

    ���Ȥᡢ���Τ��Τ��ΤˤĤ��ơ� �����Ʊ�ͤˤʤ� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �θ��� $ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ �Τʤ����������Ӥʤ�����

���� 3.15 (��������������Ȥ��ư���)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤ����ơ����� $ ?$ �Υ��饹(Ʊ����)�� $ [?]_{10}$ ��ɽ�����Ȥˤ��롣 ���ΤȤ���
  1. $ [10]_{10}=[0]_{10}$ �Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����
  2. % latex2html id marker 1464
$ [2]_{10}\neq [0]_{10}$ �Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����
  3. % latex2html id marker 1466
$ [5]_{10}\neq [0]_{10}$ �Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����
  4. $ [2]_{10}\times [5]_{10}$ , $ [3]_{10}\times [7]_{10}$ ��Ǥ��������ñ�ʷ��� �ʤ����ʤ�����

���� 3.16   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Τʤ��ǡ�

$\displaystyle x^2=1
$

����������Τ����Ƶ󤲤ʤ�����

���� 3.17   $ n=3\times 5\times 7\times 11(=1155)$ �Ȥ��롣 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Τʤ��ǡ�

$\displaystyle x^2=1
$

����������Τ����Ƶ󤲤ʤ�����

���� 3.18  

$\displaystyle 1234567891234567
$

�� $ 9$ �dz�ä����ޤ�Ϥ�������������� �Ǥ�������ʷ����ͳ��Ĥ���(�׻����� �Ѥ��뤳�Ȥʤ�)�����ʤ�����

���� 3.19  

$\displaystyle 1234567891234567
$

�� $ 11$ �dz�ä����ޤ�Ϥ�������������� �Ǥ�������ʷ����ͳ��Ĥ���(�׻����� �Ѥ��뤳�Ȥʤ�)�����ʤ�����

���� 3.20  

$\displaystyle 1234567891234567
$

�� $ 99$ �dz�ä����ޤ�Ϥ�������������� �Ǥ�������ʷ����ͳ��Ĥ���(�׻����� �Ѥ��뤳�Ȥʤ�)�����ʤ�����


next up previous
Next: About this document ...
2007-11-13