����ر齬 I ���� No.2

���� ���줫��ϡ��Ȥ��ˤ��Ȥ��ʤ��¤ꡢñ�̸����ĴĤΤߤ򰷤����ִġפȤ����С� ñ�̸�����ĴĤȲ�ᤷ�Ƥ�������������(ñ�̸���¸�ߤ��Ȥ��˽��פʻ��ˤϡ� ������Ȥ�롣)���������Ѥ��Ĵ��Ǥ���ȤϤޤ����ꤷ�ʤ���

���� 2.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\mbox{${\sqrt {-1}}$}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{a+b\mbox{${\sqrt {-1}}$};a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ �ϴĤȤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½( $\mbox{${\sqrt {-1}}$}$ �ϵ���ñ�̤ò¤¢¤ï¿½ï¤¹ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ç¤ï¿½ï¿½ï¿½)

���� 2.2   ñ�̸� $1$ ����Ĵ� $R$ �θ� $x,y,z$ �ˤ������ơ�

$$xy=1 y x$$

$$zx=1 z x$$

������Ω�ĤȤ���$z=y$ �Ǥ��äơ�

$$xy=yx=1$$   (���ʤ�� $y(=z)$ �� $x$ �εո��Ǥ���)

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

��� 2.1   ñ�̸���¸�ߤ���� $R$ �ˤ����ơ��ո���¸�ߤ���褦�ʸ��Τ��Ȥ�$R$ �βĵո��Ȥ���ñ�������뤤��ñ���Ȥ����ޤ���

���� 2.3   $R$ ��ñ�̸���¸�ߤ���ĤȤ��ޤ��� $R$ �βĵո����� $R^{\times}$ �Ϸ���ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 2.2   ����� $R^{\times}$ �Τ��Ȥ� $R$ ��ñ�����Ȥ����ޤ���

���� 2.4   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��ñ��������ʤ�����

���� 2.5   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\mbox{${\sqrt {-1}}$}$ ��ñ��������ʤ�����

���� 2.6   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$+$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\mbox{${\sqrt {-1}}$}$$=\{a+b$$\mbox{${\sqrt {-1}}$}$$;a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\}$ ���ΤȤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 2.3 (��ʬ�Ĥ����)   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ��롣$R$ ����ʬ���� $S$ �� $R$ ����ʬ�ĤǤ���Ȥϡ�$S$ �����ξ������������ˤ�����

1. $S$ �� $R$ ��­��������������ή�Ѥ��뤳�Ȥˤ��ĤˤʤäƤ��롣
2. $S$ �� $R$ ��ñ�̸��򸵤Ȥ��ƻ��ġ�

��ξ��Τ�����(1)���ܼ�Ū��ʬ�Ǥ��ꡢ(2) ����Ƭ�ǽҤ٤����դ˱褦����� ����Ū���Ǥ��롣��������(2)��̤����Ƥ��ޤ��������ϸ������夫�ʤ��ä� ���ˤʤ�Τ�ñ�̸��Τʤ��Ĥ򰷤���(���⤷����Ф��λ�)�ˤ����դ�ɬ�פǤ��롣

���� 2.7   ���Τ�Τ�ʣ�ǿ����ΤΤʤ��� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�ĤǤ��뤫����ͳ��Ĥ��������ʤ�����

1. �������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. ͭ�������Τν��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .
4. ʣ�ǿ�����ʬ�ˤ���󼡹������Τν��� $M_2({\mathbb{C}})$ .

���� 2.8 (Web�ǤΤ�)   ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $S$ ���� $1,\sqrt{3}+\sqrt{5}$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ»ï¿½ï¿½Ã¤Æ¤ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ ����� $2\sqrt{15},4\sqrt{3},4\sqrt{5}$ �� $S$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 2.4   ñ�̸����IJĴ��� $R$ ��

$$ab=0 (a,b\in R) \implies a=0$$    or $$b=0$$

������������$R$ ������Ȥ��

���� 2.9   $M_2({\mathbb{C}})$ ����ʬ����

$$\left\{ \begin{pmatrix} k+2l &0\\ 0 &k+3l \end{pmatrix}; k,l\in {\mathbb{C}} \right\}$$

�ϲ�ˡ����ˡ����ˡ�ˤĤ����Ĥ��Ƥ��뤳�Ȥ򼨤��� ���줬ñ�̸����IJĴ��ĤǤ��뤳�Ȥ�����ʤ����� ����ˡ����δĤ�����ǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 2.10   $R$ ���Ĵ��� $S$ ����ʬ�ĤǤ���Ȥ���$R$ ��Ĵ��Ĥˤʤꡢ����� $S$ ������Ǥ���� $R$ ������Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.11   �¿�����ʬ�˻��� $n$ -����������Τʤ����� $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���̾�λ�ˡ�ˤ�äƴĤˤʤ뤳�Ȥ�����˱�ä��������ʤ�����

���� 2.12   $M_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �θ� $A$ �������ҤǤ���ɬ�׽�ʬ���� $\operatorname{det}(A)=0$ �Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.13   �� $R$ �θ� $c$ ������������ $n$ �ˤ�� $c^n=0$ �Ȥʤ�Ȥ���$c$ ��������ȸ����ޤ��� $R$ ��ñ�̸� $1$ �������$c$ �� $R$ �ζ������ʤ�С� $1-c$ �� $R$ ��ñ���Ȥʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.14   ͭ�¸Ĥθ����������ʤ�����ϡ��ΤȤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.15   ͭ������ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ (�Ĥޤꡢ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\subset R\subset {\mathbb{C}}$ ) �� $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ $\sqrt{2},\sqrt{3}$ �� $R$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.16   ͭ������ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �� $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ �ò¸µ¤È¤ï¿½ï¿½Æ´Þ¤ï¿½È¤ï¿½ï¿½ï¿½ $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ �� $R$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.17   ͭ������ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �ˤĤ��ơ�������Ĥξ���Ʊ�ͤǤ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����

1. $\sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$ .
2. $\sqrt{3}\in R$ ���� $\sqrt{7}\in R$ .

���� 2.18   ����ǡ�$R$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤࡢ�Ȥ������� �����Ƥ�Ʊ�ͤΤ��Ȥ���������������� �������ʤ���������ְ�äƤ���ʤ�ȿ��� �����ʤ�����

���� 2.19   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ����ʬ�ĤȤ��ƴޤ�褦�� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �ǡ� �ΤǤʤ��褦�ʤ�Τ�¸�ߤ������������ (����Ǥ��롣��������ˤĤ��Ƥ����Ȥ���������ɤ���)

���� 2.20  

1. $S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}... ...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ �� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�Ĥ���������
2. $S$ ��ޤࡢ ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�Ĥǡ��Ǿ��Τ��(�Ĥޤꡢ$S$ �� ��������� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ��)�Ϥʤˤ���