����ر齬 I ���� No.1

��� 1.1   $(R,+,\times)$ ���ĤǤ���Ȥϡ����줬���Σ��Ĥξ����������Ȥ��˸����ޤ���

1. $R$ �� $+$ (��ˡ) �˴ؤ��Ʋ�ˡ���Ǥ��롣����ñ�̸��� 0 �Ƚ񤭡�$R$ �������ȸ����ޤ���
2. $\times$ (��ˡ) �Ϸ��Χ����������
3. $+$ �� $\times$ �Τ������Ǥ�ʬ��ˡ§������Ω�ġ����ʤ����

   $$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$$

   $$(b+c)\times a= b\times a+c\times a$$

   
   
   �����٤Ƥ� $R$ �θ� $a,b,c$ �ˤĤ�������Ω��

����� $R$ �θ� $u$ ��

$$u\times a=a\times u=a ($$���٤Ƥ� $a&isin#in;R$ �ˤĤ���$$)$$

���������Ȥ���$u$ �� $R$ ��ñ�̸��ȸ����ޤ���(���̤ϡ�ñ�̸��Τ��Ȥ� $1$ �Ƚ񤭤ޤ���)

��ñ�˸����С����̤η׻����äƤ�Ȼפä��ɤ��Ǥ�������������껻���Ǥ��ʤ����Ȥȡ��Ѥ��Ĵ��Ȥϸ¤�ʤ����Ȥ��㤤�ޤ����ޤ�����ˡ�� $\times$ �Ͼ�ά���뤳�Ȥ�¿���Ǥ����㤨�С�

$$a\times b=ab.$$

�ޤ��� $(x+x)+x=3x$ , $x\times x=x^2$ ����ά�����ޤ���

(�齬���Թ�ˤ�ꡢ�������Ⱥ���(No.1)�Ǥϡ��Ĥ�ñ�̸���¸�ߤ��ꤷ�ޤ��� ��������(No.2)����ϡ��ֵ�����Ĵ�򤢤碌�ơ� �Ĥȸ������̾�ñ�̸����Ĥ�ΤȤ��ޤ���)

��� 1.2   �Ѥ��Ĵ��Ǥ���Ĥ�Ĵ��Ĥȸ����ޤ���ñ�̸���¸�ߤ��ơ� 0 �Ǥʤ����dz�껻���Ǥ���褦�ʲĴ��Ĥ��Τȸ����ޤ���

���� 1.1   �� $R$ �θ� $a,b$ ���Ф��ơ� $a0=0a=0, (-a)b=a(-b)=-(ab),ab=(-a)(-b), (3a)(2b)=6(ab)$ ������Ω�Ĥ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ ($3 a$ �� $(a+a)+a$ ��ά���Ǥ��äơ�$3$ �� $a$ �Τ������Ǥ��ʤ����Ȥ����ա�)

���� 1.2   $a,b,c,d$ �� �Ĵ��� �θ��Ȥ���Ȥ������μ���Ÿ�����ʤ�����(������1)

$$(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$$ (1.1)

$$(a+b+c+d)(a+b-c-d)$$ (1.2)

$$(a+b+c)^2-(a-b-c)^2$$ (1.3)

���� 1.3   �Ĥ�ñ�̸���¸�ߤ����Ȥ��Ƥ⤿���ҤȤĤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ (�ҥ�ȡ�$u,v$ ����Ĥ�ñ�̸��Ȥ���� $uv=\dots$ )

���� 1.4 (������1)   ���γƽ���ϴĤǤ��礦���� (��ˡ����ˡ���Ǥ�ʤ��¤꼫���ʤ�Τ����֡�)

1. ���������Τν��� $\mathbb{N}$
2. ������Τν��� $2{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+1$

���� 1.5 (��1)   ���γƽ���ϴġ��Ĵ��ġ��ΤǤ��礦����(��ˡ����ˡ���Ǥ�ʤ��¤꼫���ʤ�Τ����֡�)���ˡ�ñ�̸��Ϥ���ޤ�����

1. �¿���Υ٥��ȥ���� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ �ˡ����Τ褦�ʾ�ˡ�����줿���
   $$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times \begin{p... ...in{pmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2\\ a_3 b_1-a_1 b_3\\ a_1 b_2-a_2 b_1 \end{pmatrix}$$   (�٥��ȥ�γ���)

2. $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �� ���ξ�ˡ(���̤��Ѥ�ʶ��路���Τ�$A\times B$ �Ƚ񤫤��� $[A,B]$ �Ǥ���魯)�����줿���
   $$[A,B]=AB-BA$$   (�ò´¹»ï¿½ï¿½ï¿½)
   (���������դ� $AB$ �Ȥ� $BA$ �Ȥ������ΤϹ�������̤��ѤǤ���)

���� 1.6   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ����Ǥ��äơ����̤�­�����ȳݤ����ˤĤ��ƴĤˤʤäƤ����Τ����Ƶ󤲤ʤ�����

���� 1.7   �¿����Ķ�� $[0,1]$ ���Ϣ³�ؿ����Τϡ�Ŭ���ʱ黻(�������Ȥ�­�������ݤ���)�Τ�Ȥ˴Ĥˤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 1.8  

$$R=\{f:[0,1]\to$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$;$$   $f$ ��Ϣ³�ǡ�$f(0)=f(1)=0$ ��������$$\}$$

�Ȥ����ȡ�$R$ �ϳ������Ȥ�­�������ݤ����ˤ�äƴĤˤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 1.9   ����δ� $R$ �ˤ�ñ�̸���¸�ߤ��ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½