����� I No.12����

�������轵�λĤ�ξ�����Ԥʤ���

�Ĥ��Ǥ� &dotfill#dotfill;

No.10 ������ (I) �β����� ����� $f,g,h$ �ˤ������ơ� $k[X]$ �Υ��ǥ��� $(f,g,h)$ �� $I$ �Ȥ����� (���Ĥϡ�

$$f=\left(X^2 + 3 X + 5\right)\cdot \left(X^2 + X - 1\right)$$

$$g= \left(X^2 + X - 1\right)\cdot \left(X^3 + X - 1\right)$$

$$h= \left(X^2 + 3 X + 5\right)\cdot \left(X^3 + X - 1\right)$$

�Ǥ��äơ�����˵��Ť��Ȱʹߤ��ä������֤�ȳڤ˿ʤࡣ)

$f,g$ �ˤĤ��ƥ桼����åɤθ߽�ˡ��Ԥʤ��ȡ�

$$l(X)=X^2 + X - 1=\frac{1}{111}((5 X^2 - 14 X + 22)f(X) + (-5 X-1) g(X)) \in I$$

�����롣���� $l,h$ �ˤĤ��ƥ桼����åɤθ߽�ˡ��Ԥʤ���

$$1=\frac{1}{10}((4 X^4 + 15 X^3 + 34 X^2 + 31 X + 25) l(X) +( - 4 X - 7) h(X))\in I.$$

���Τ��Ȥ��顢$I=k[X]$ ���狼�롣

&dotfill#dotfill;

���� 12.1  

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

((i))

¿�༰ $f,g,h\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ ��

$$f(X)=(X-2)(X-3)(X-10),$$

$$g(X)=(X-1)^2(X-3)^2(X-10),$$

$$h(X)=(X-1)^2 (X-2)(X-10).$$

�����롣���ΤȤ���

[Case 1].

$p(X)=1$

[Case 2].

$p(X)=(X-10)$

[Case 3].

$p(X)=(X+1)(X-10)$

�Τ��줾��ξ��ˤĤ��ơ�

$$a f +b g +c h=p$$

��������¿�༰ $a,b,c\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ ��¸�ߤ������������¸�ߤ���ʤ�Ф��Τ褦�� $a,b,c$ �����󤲡� ¸�ߤ��ʤ��ʤ�Ф�����ͳ��Ҥ٤衣

((ii))

$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �Υ��ǥ��� $(f,g,h)$ ���ñ�ˤ��衣