����� I No.11����

��ñ�।�ǥ���������Ǹ�ʬ��ĤǤ����

����ϡ�ñ�।�ǥ�������(ñ�।�ǥ���Ĥǡ�����ˤ�ʤäƤ����Ρ� ά����PID)�ϡ� ���ǰ���ʬ��פ�����뤳�Ȥ򤷤᤹��

�ޤ���

$$12=(-3) \times (-4)=(-1)\times 3 \times (-4)=\dots$$

�Τ褦��̵�Ѥ�ʬ����򤱤뤿��ˡ�$\pm 1$ ���ह���Τ����̰������� ���Ȥˤ��롣

��� 11.1   $R$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣$R$ ������� �Ѥ˴ؤ��Ʋĵդʤ�Τ����Τ� $R^\times$ �Ǥ���魯��

$$R^\times =\{ x\in R ; \exists y \in R$$    ������ $$xy=yx=1$$   ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î©ï¿½ï¿½$$\}$$

�� 11.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}^\times=\{\pm 1\}$ , ${\mathbb{C}}^\times={\mathbb{C}}\setminus\{0\}$ , ${\mathbb{C}}[X]^\times={\mathbb{C}}^\times$ .

���� 11.1   �Ĵ��� $R$ �θ� $x$ �ˤĤ��ơ�����Ʊ�ͤǤ��롣

1. $x \in R^\times$
2. $(x)=R$

��� 11.2   �Ĵ��� $R$ �θ� $x$ ���Ǹ��Ǥ���Ȥϡ� $(x)$ �� $R$ ���ǥ��ǥ���Ǥ���Ȥ��ˤ�����

��� 11.3   ���� $R$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ���Ȥϡ�$R$ �� Ǥ�դθ� $x$ �ˤĤ��ơ����Τ����줫������Ω�ĤȤ��˸�����

1. $x$ =0
2. $x \in R^\times$
3. $x$ �� $R$ ���Ǹ����Ѥ�ʬ�򤵤�롣

�㤨�С� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , ${\mathbb{C}}[X]$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣��äȰ��̤ˡ� ���Τ��Ȥ�����Ω�ġ�

���� 11.1   $R$ ��ñ�।�ǥ�������ʤ�С�$R$ ���Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣

���������ξ����Ϥ����Ĥ����ʳ��ˤ狼��롣

�ޤ������λ��¤γ�ĥ����Ϥ���褦��

���� 11.1   ���� $x,y,z$ �����äơ� $yz$ �� $x$ �dz���ڤ졢 ���� $x,y$ ���ߤ����ǤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���$z$ �� $x$ �dz���ڤ�롣

���� $x,y$ ���ߤ����Ǥʤ顢 $(x,y)={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ��ä����Ȥ�פ��������ȡ� ��������Ͼ�λ��¤γ�ĥ�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ�����������

���� 11.2   �Ĵ��� $R$ �θ� $x,y,z$ �����äơ� $yz$ �� $x$ �dz���ڤ졢���� $(x,y)=R$ �Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ���$z$ �� $x$ �dz���ڤ�롣

��� 11.4   $R$ �ϲĴ��ĤǤ���Ȥ��롣$R$ �θ� $x$ ������Ǥ���Ȥϡ�

$$\forall y \forall z ( y,z\in R, yz=x \ \implies \ (y\in R^\times$$    �ޤ��� $$z \in R^\times))$$

�ΤȤ��˸�����

���� 11.3   $R$ ������Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $R$ ���Ǹ��ϡ�ɬ������Ǥ��롣
2. $R$ �δ��󸵤ϡ�ɬ�������Ǹ��Ȥϸ¤�ʤ���
3. $R$ ��PID �ʤ����$R$ �δ��󸵤�ɬ���Ǹ��Ǥ��롣

�������ˤ�ꡢñ�।�ǥ������� $R$ �θ� $x$ ���ǰ���ʬ�򤹤���� ���Τ褦�ˤʤ롣

1. $x=0$ �ޤ��� $x \in R^\times$ �ʤ�С������ޤ���
2. $x$ ���Ǹ��ʤ�С���Ϥꤪ���ޤ���
3. ����ʳ��ʤ顢$x=yz$ ( $y,z\in R\setminus R^\times, y,z\neq 0$ )�� ʬ��Ǥ��롣
4. $y,z$ �ˤĤ���Ʊ�ͤΤ��Ȥ򤹤롣 (�㤨�� $y,z$ �� �Ǹ��Ǥʤ���С� $y=y_1y_2$ �Ȥʤ롣)
5. �����֤���

���Ȥ�����ϡ���Ĥθ���̵�¤�ʬ�򤵤�Ƥ����ʤ������Ȥ������ȤǤ��롣 ������褹��Τˤϡ������������Ѥ���Ф褤��

(����) ${\mathbb{C}}[X]$ ����ʬ�� $R={\mathbb{C}}[X^2,X^3]$ ��ͤ���ȡ�

$$R=\{f\in {\mathbb{C}}[X];$$    $f$ �� $X$ �˴ؤ���켡�ι�η����� $0$

�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ���롣�����ǡ� $a=X^2,b=X^4,c=X^3$ �Ȥ����ȡ�$ab=c^2$ �Ǥ��뤬��

1. $a$ �� $R$ �Τʤ��Ǵ���Ǥ���
2. $a$ �� $R$ �Τʤ��� $c$ ������ǤϤʤ���

�Ȥ������Ȥ�ʬ���롣���Τ褦�ˡ�ñ�ˡִġפȤ��äƤ⤳�Τ褦�ʡ��ðۤʡ״Ĥ� �ޤޤ��Τǡ����θ��μ�갷���ˤ��̾���������갷���ʾ�����դ�ɬ�פǤ��롣

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{5}]$ �Τʤ���

$$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)=2 \cdot 2$$

�ʤɤ⡢�ǰ���ʬ�������������Ǥ��롣

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

���� $R$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥ򼨤��ʤ�����

1. $R^\times$ �Ͼ�ˡ�˴ؤ��Ʒ���ʤ���
2. $R$ �˼��Τ褦��Ʊ�ʹط��򤤤�뤳�Ȥ�����롣
   $$x \sim y \ {\Leftrightarrow}\ (\exists u \in R^\times$$    ������ $$x=uy$$   ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Î©ï¿½ï¿½$$)$$
   (����Ʊ�ʹط���Ʊ�ͤ���Ĥθ���Ʊȼ����Ĥθ��ȸƤ֡�)
3. $x$ �� $y$ ���ܸ��ǡ�$y$ �� $x$ ���ܸ��Ǥ⤢��ʤ顢$x$ �� $y$ �Ȥ� Ʊȼ�Ǥ��롣

(II).

���� $R$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��� $p,p_1,p_2,p_3\dots p_k$ ������ $R$ ���Ǹ��Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ����⤷ $x=p_1 p_2 \dots p_k$ �� $p$ ���ܸ��Ǥ���С� $p_1,p_2,\dots,p_k$ �Τ����ɤ줫��Ĥ�ɬ�� $p$ ��Ʊȼ�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����(Ʊȼ����������仲�ȡ�â���� ����������뤳�Ȥ��׵ᤷ�ʤ���(����η�̤ϲ��ꤷ�Ƥ褤��))

(III).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �ϥ桼����åɴġ��������ä��Ǹ�ʬ��ĤǤ��롣(��������) �����ǡ�$z=16+63i$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ �ˤ������Ǹ�ʬ�򤻤衣 (�ҥ��: �ޤ� $z\bar{z}$ ���ǰ���ʬ����ߤ衣�ǰ���ʬ��ΰ�����򿮤���С� ������ʿ��ζ��̰�������᤿���ʤ�Ȧ�Ǥ��롣 ���������Ȥ��ϥ桼����åɤθ߽�ˡ���Ѥ��衣�Ǹ�ˡ� �����������Ǹ��Ǥ��뤫�ɤ����Τꤿ���Ȥ��ˤϡ�

$$x=yz \ \implies \ x\bar{x}=y\bar{y}z\bar{z}$$

$$\ \implies \ \vert x\vert^2 \vert y\vert^2 \vert z\vert^2$$

�Ȥ������Ȥ򤦤ޤ��Ѥ��衣 )