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鐃緒申鐃緒申鐃� I No.8鐃緒申鐃緒申

\fbox{今日のテーマ}

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$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃緒申 $ k[X]$ 鐃緒申鐃緒申弔砲泙鐃緒申鐃緒申未鐃緒申童鐃緒申鐃緒申襪鰹申箸蓮鐃� 鐃宿わ申鐃緒申鐃緒申余鐃緒申里鐃緒申鐃緒申蟷誌申廚鐃緒申鐃緒申鐃暑こ鐃夙でわ申鐃暑。

余鐃緒申里鐃緒申鐃緒申蟷誌申覆鐃緒申鐃緒申鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾わ申鐃夙に思わ申鐃暑か鐃緒申鐃塾わ申覆鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申

$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ 鐃緒申鐃緒申嚢佑鐃緒申鐃� $ X^2$ 鐃緒申 $ 2X+1$ 鐃叔鰹申辰鐃粛常申鐃熟￥申

$ {\mathbb{C}}[X,Y]$ 鐃緒申鐃緒申嚢佑鐃緒申鐃� $ X^3+Y^3$ 鐃緒申 $ XY+1$ 鐃叔鰹申辰鐃粛常申鐃熟￥申

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鐃緒申鐃� 8.1   鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃醇ー鐃緒申鐃緒申奪百弔任鐃緒申鐃夙は￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ W$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申 $ \rho:R\to W$ (鐃瞬重わ申鐃竣わ申調鐃駿わ申鐃緒申鐃�)鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃祝醐申鐃緒申
  1. $ R$ 鐃塾醐申 $ a$ 鐃塾「重わ申鐃緒申 $ \rho(a)$ 鐃緒申鐃叔常申 $ {\Leftrightarrow}$ $ a=0$
  2. $ R$ 鐃塾醐申 $ a,b$ % latex2html id marker 998 $ (a\neq 0)$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申

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鐃緒申鐃緒申 8.1 (鐃醇ー鐃緒申鐃緒申奪百弔隆鐃緒申鐃緒申鐃�)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$, $ k[X]$ ($ k$ 鐃緒申鐃緒申)鐃熟とわ申縫罅種申鐃緒申鐃獣ド環でわ申鐃暑。

鐃緒申蟷誌申慮鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申討麓鐃緒申里鐃緒申箸鐃処く鐃夙わ申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 8.2 (鐃緒申縫奪鐃緒申鐃渋随申犲逸申砲鐃緒申鐃所算)   $ R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申鐃緒申腸調鐃緒申弔箸鐃緒申襦�$ R[X]$ 鐃塾醐申 $ a$ 鐃緒申鐃緒申縫奪鐃緒申覆鐃出￥申 任鐃春わ申 $ b\in R[X]$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申

% latex2html id marker 1030 $\displaystyle b=aq+r,\quad q,r\in R, \quad \deg(r)<\deg(a) $

鐃夙なわ申 % latex2html id marker 1032 $ q,r\in R[X]$ 鐃緒申存鐃淳わ申鐃暑。

鐃緒申鐃� 8.2   鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申 $ I$ 鐃緒申単鐃準イ鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申鐃夙は￥申 鐃緒申鐃緒申 $ a\in R$ 鐃緒申存鐃淳わ申鐃銃￥申 $ I=(a)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃縦とわ申鐃祝醐申鐃緒申鐃緒申

$ R$ 鐃緒申鐃緒申鐃銃のワ申鐃叔ワ申鐃暑が単鐃準イ鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申 $ R$ 鐃緒申単鐃準イ鐃叔ワ申鐃緒申弔任鐃緒申鐃夙醐申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 8.1   鐃醇ー鐃緒申鐃緒申奪百弔鐃獣縁申爛わ申妊鐃緒申鐃縦でわ申鐃暑。

鐃緒申 8.1   鐃緒申鐃緒申 $ a,b$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃緒申虜脳鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ d$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申

$\displaystyle al+bm=d $

鐃緒申澆鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $ l,m$ 鐃緒申存鐃淳わ申鐃暑。

鐃緒申 8.2   $ k$ 鐃緒申鐃塾とわ申鐃暑。$ k$ 鐃緒申鐃渋随申犲� $ a,b$ 鐃緒申与鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃緒申虜脳鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ d$ 鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申

$\displaystyle a(X)l(X)+b(X)m(X)=d(X) $

鐃緒申澆鐃緒申鐃�$ k$ 鐃緒申鐃渋随申犲� $ l,m$ 鐃緒申存鐃淳わ申鐃暑。

鐃渋際わ申 $ l,m$ 鐃緒申彁鐃緒申鐃緒申鐃祝は￥申鐃緒申鐃塾よう鐃緒申鐃緒申法鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 8.1 (鐃醇ー鐃緒申鐃緒申奪匹慮濬鐃祝�)   鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle 72l+56m=8 $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ l,m$ 鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申筏鐃緒申茵�

(鐃緒申鐃緒申) 鐃殉わ申鐃緒申鐃塾よう鐃淑計誌申鐃緒申圓覆鐃�

  $\displaystyle 72$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 56$ $\displaystyle = 1$    余鐃緒申  % latex2html id marker 1082 $\displaystyle 16 \qquad\qquad$ $\displaystyle 72=$ $\displaystyle 56$ $\displaystyle \times 1 +$ $\displaystyle 16$ % latex2html id marker 1087 $\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}72 56 \... ...\begin{pmatrix}1 & 1 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}56 16 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle 56$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 16$ $\displaystyle = 3$    余鐃緒申  % latex2html id marker 1092 $\displaystyle 8 \qquad\qquad$ $\displaystyle 56=$ $\displaystyle 16$ $\displaystyle \times 3 +$ $\displaystyle 8$ % latex2html id marker 1097 $\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}56 16 \... ... \begin{pmatrix}3 & 1 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 8 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle 16$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle = 2$    余鐃緒申  % latex2html id marker 1102 $\displaystyle 0 \qquad\qquad$ $\displaystyle 16=$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle \times 2 +$ 0 % latex2html id marker 1106 $\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}16 8 \e... ...= \begin{pmatrix}2 & 1 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}8 0 \end{pmatrix}$    

鐃銃￥申鐃塾行の刻申鐃藷算わ申鐃夙み刻申錣誌申鐃夙￥申

$\displaystyle \begin{pmatrix} 72\\ 56 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ ... ...egin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$

鐃緒申鐃緒申鐃暑。鐃緒申鐃塾種申鐃塾縁申鐃春に醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃熟わ申鐃駿わ申 $ M_2({\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ 鐃塾醐申鐃夙わ申鐃緒申 鐃縦逆でわ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃春わ申鐃銃￥申鐃緒申亮鐃緒申鮗，里茲�鐃緒申鐃術件申鐃緒申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申襦�

$\displaystyle \begin{pmatrix}8 0 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix}2 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}... ...n{pmatrix}1 & 1 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}72 56 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{pmatrix}0 & 1 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & ... ...gin{pmatrix}-3 & 4 7 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}72 56 \end{pmatrix}$    

鐃緒申鐃塾種申鐃緒申鐃緒申鐃峻わ申鐃緒申鐃旬わ申鐃緒申函鐃� $ 8=(-3)\times 72+ 4\times 56 $ 鐃緒申鐃緒申鐃暑。

(鐃緒申鐃緒申)     $ l=-3,m=4$.

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃獣縁申爛わ申妊鐃緒申鐃緒申鐃緒申浚愀鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申隆愀鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申討鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申 8.3   単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦可器申鐃緒申 $ R$ 鐃塾醐申 $ a,b$ 鐃緒申鐃出わ申鐃銃￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔鐃銃縁申佑任鐃緒申襦�
  1. 鐃緒申鐃叔ワ申鐃緒申鐃緒申鐃殉関件申 $ (a)\subset (b)$ 鐃緒申鐃緒申鐃暑。
  2. $ a$ 鐃緒申 $ b$ 鐃緒申鐃旬醐申鐃叔わ申鐃暑。鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $ c\in R$ 鐃緒申鐃緒申鐃獣て￥申$ a=bc$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃縦￥申

鐃緒申鐃緒申檗鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃縦わ申鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鬚靴堂鬚�なわ申鐃緒申鐃緒申 (鐃緒申鐃渋￥申鐃緒申鐃塾講居申鐃塾緒申了鐃緒申鐃殉で￥申)

(I).
鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle (X^3+2 X^2 +3X+4)f(X)+(X^3+2X+2)g(X)=1 $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申多鐃準式 $ f,g\in {\mathbb{C}}[X]$ 鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申噺鐃緒申弔鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申呂鐃緒申慮鐃緒申佞鐃緒申鐃緒申鐃緒申泙嚢鐃緒申鐃銃書くわ申鐃夙￥申

(II).
% latex2html id marker 1138 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ 鐃熟ユー鐃緒申鐃緒申奪百弔任鐃緒申襦� (鐃緒申鐃塾常申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申任禄颪�なわ申鐃銃わ申茲わ申鐃緒申箸砲鐃緒申襦� $ \rho$ 鐃夙わ申鐃銃は￥申鐃緒申鐃緒申鐃粛》わ申佑鐃緒申鐃�% latex2html id marker 1142 $ q$ 鐃夙わ申鐃銃わ申 $ b/a$ 鐃祝わ申辰箸鐃潤い % latex2html id marker 1146 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ 鐃塾醐申鐃緒申箸鐃出よい鐃緒申 ( % latex2html id marker 1148 $ \vert b/a-q\vert\leq \sqrt{2}/2$ 鐃祝緒申鐃緒申襦�)) 鐃緒申鐃塾わ申鐃夙わ申鐃術わ申鐃銃￥申 % latex2html id marker 1150 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{-1}]$ 鐃塾醐申

% latex2html id marker 1152 $\displaystyle 7+24 \sqrt{-1},\qquad 25 $

鐃塾削申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申罅種申鐃緒申鐃獣ドの互緒申法鐃緒申鐃術わ申鐃銃居申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

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平鐃緒申19年11鐃緒申29鐃緒申