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鐃緒申鐃緒申鐃� I No.7鐃緒申鐃緒申

\fbox{今日のテーマ} 鐃峻環の緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申法鐃緒申

鐃緒申 7.1 (鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾器申鐃緒申鐃緒申1)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃緒申鐃緒申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃舜の種申鐃緒申 $ f$ 鐃緒申

% latex2html id marker 1091 $\displaystyle f([n]_{100})=[n]_{10} \quad \quad ($   $[?]_n$ 鐃緒申 $$ \mathbb{Z}$/n$ \mathbb{Z}$$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申 $?$ 鐃緒申同鐃緒申鐃緒申 $\displaystyle ) $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申函鐃緒申鐃緒申里鐃緒申箸鐃淑�鐃緒申鐃暑。
  1. $ f$ 鐃熟種申鐃緒申鐃夙わ申鐃銃わ申鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃暑。 鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃�$ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃宿緒申鐃緒申里箸鐃緒申鐃緒申砲鐃緒申覆鐃緒申鐃�
  2. $ f$ 鐃熟環の緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。
  3. $ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃緒申鐃塾でわ申鐃暑。
  4. $ f$ 鐃塾核わ申 $ 10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃叔わ申鐃暑。
鐃緒申辰董鐃緒申鐃銃縁申鐃緒申鐃緒申鐃緒申砲鐃所、

$\displaystyle ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/100{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})/(10{\mbox{${... ...box{${\mathbb{Z}}$}}) \cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10 {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

鐃緒申 7.2   鐃縦とわ申鐃銃わ申同鐃緒申 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]/(X^2+1)$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X] \cong {\mathbb{C}}$ 鐃緒申 存鐃淳わ申鐃暑。 $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]$ 鐃緒申鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃舜の種申鐃緒申 $ f$ 鐃緒申

% latex2html id marker 1125 $\displaystyle f(p)=p(\sqrt{-1}) $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申函鐃緒申鐃緒申里鐃緒申箸鐃淑�鐃緒申鐃暑。
  1. $ f$ 鐃熟種申鐃緒申鐃夙わ申鐃銃わ申鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃暑。
  2. $ f$ 鐃熟環の緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。
  3. $ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃塾でわ申鐃暑。
  4. $ f$ 鐃塾核わ申 $ (X^2+1)$$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ [X]$ 鐃叔わ申鐃暑。
鐃緒申辰董鐃緒申鐃銃縁申鐃緒申鐃緒申鐃緒申砲鐃所、

   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2+1)$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X] \cong {\mathbb{C}} $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

鐃緒申 7.3 (鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾縁申鐃緒申鐃純１)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ 鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1149 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$ 鐃舜の種申鐃緒申 $ f$ 鐃緒申

% latex2html id marker 1153 $\displaystyle f(p)=p(\sqrt{14}) $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申函鐃緒申鐃緒申里鐃緒申箸鐃淑�鐃緒申鐃暑。
  1. $ f$ 鐃熟種申鐃緒申鐃夙わ申鐃銃わ申鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃暑。 鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃�$ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1159 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$ 鐃緒申鐃緒申呂濬个鐃緒申覆鐃緒申鐃�
  2. $ f$ 鐃熟環の緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。
  3. $ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1165 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}]$ 鐃緒申鐃塾でわ申鐃暑。
  4. $ f$ 鐃塾核わ申 $ (X^2-14){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ 鐃叔わ申鐃暑。
鐃緒申辰董鐃緒申鐃銃縁申鐃緒申鐃緒申鐃緒申砲鐃所、

% latex2html id marker 1171 $\displaystyle {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]/(X^2-14){\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X] \cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[\sqrt{14}] $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

鐃緒申 7.4 (鐃緒申同鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾縁申鐃緒申鐃純２)   $ A\in M_2({\mathbb{C}})$ 鐃緒申

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 1 &3 \\ 5 &7 \end{pmatrix}$

鐃緒申鐃緒申瓠� $ {\mathbb{C}}[X]$ 鐃緒申鐃緒申 $ M_2({\mathbb{C}})$ 鐃舜の種申鐃緒申 $ f$ 鐃緒申

$\displaystyle f(p)=p(A) $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申函鐃緒申鐃緒申里鐃緒申箸鐃淑�鐃緒申鐃暑。
  1. $ f$ 鐃熟環の緒申同鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。
  2. $ f$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申

    $\displaystyle {\mathbb{C}}[A]= {\mathbb{C}}A+{\mathbb{C}}E= \{k A+ lE ; k,l \in... ...in{pmatrix} k+l &3k \\ 5k &7k+l \end{pmatrix}; k,l \in {\mathbb{C}} \right \} $

    鐃叔わ申鐃暑。
  3. $ f$ 鐃塾核わ申 $ (X^2-8 X-8){\mathbb{C}}[X]$ 鐃叔わ申鐃暑。
鐃緒申辰董鐃緒申鐃銃縁申鐃緒申鐃緒申鐃緒申砲鐃所、

$\displaystyle {\mathbb{C}}[X]/(X^2-8X-8){\mathbb{C}}[X] \cong {\mathbb{C}}[ A](={\mathbb{C}}A +{\mathbb{C}}E) $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

鐃緒申鐃緒申檗鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃縦わ申鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鬚靴堂鬚�なわ申鐃緒申鐃緒申 (鐃緒申鐃渋￥申鐃緒申鐃塾講居申鐃塾緒申了鐃緒申鐃殉で￥申)

(I).

  1. $\displaystyle \phi:$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2+2 X+1)$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X] \to {\mathbb{C}} $

    鐃緒申 $ \phi(p(X))=p(-1)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃夙￥申 鐃緒申鐃緒申呂鐃緒申泙鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申討鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

  2. $\displaystyle \psi:$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2+2 X+1)$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X] \to {\mathbb{C}} $

    鐃緒申 $ \phi(p(X))=p(1)$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申茲�鐃夙わ申鐃緒申函鐃� 鐃緒申鐃緒申呂鐃緒申泙鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申討鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

(II).

   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X]/(X^2+2 X+2 )$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{R}}$}$$\displaystyle [X] \cong {\mathbb{C}} $

鐃薯示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

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平鐃緒申19年11鐃緒申29鐃緒申