����� I No.2����

��� 2.1 (�������������ʬ�ġ�)   $R$ ��ñ�̸�����ĴĤȤ���$T$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½ï¿½ë¡£ $R$ ����ʬ�� $S$ �� $T$ �ǴĤȤ������������Ȥϡ� ���λ��Ĥξ�郎�����������ˤ�����

1. $S$ �� $T$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤࡣ
2. $S$ �� $R$ ����ʬ�ĤǤ��롣
3. $S$ �� 1.,2.���������Ǿ��Τ�ΤǤ��롣

���� 2.1   ñ�̸�����Ĵ� $R$ �ȡ�������ʬ���� $T$ ��Ϳ�����Ƥ����Ȥ��롣���ΤȤ��� $R$ ����ʬ�� $S$ �ǡ�$T$ �ǴĤȤ�������������Τ��������¸�ߤ��롣 ($S$ �Τ��Ȥ� $T$ ����������� $R$ ����ʬ�ĤȤ����� $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ �Ƚñ¤¯¡ï¿½

����

����ʬ�ġפ�����ˤ�ꡢ $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ ��($T$ �����Ǥ��äƤ�) ��� $R$ ��ñ�̸� $1_R$ �򸵤Ȥ��Ƥ�ġ� ��������ñ�̸���¸�ߤ�ռ����Ƥ�������ˡ��ʲ��Ǥ� �Ϥᤫ�� $T$ �ˤ� $R$ ��ñ�̸� $1_R$ �����ä���Τ�����ͤ��뤳�Ȥˤ��롣

�� 2.1   ${\mathbb{C}}$ ����ʬ���� $T$ �ȡ�����ˤ�ä���������� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $\langle T \rangle_{\text{ring}}$ ���㡣

1. $T=\{1\} \quad \implies \quad\langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. $T=\{1,\sqrt{-1}\}\quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{-1}$
3. $T=\{1,\sqrt{2}\}\quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}}={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{2}$
4. $T=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\cup \{\sqrt{2}\} \quad \implies \quad \langle T \rangle_{\text{ring}} =\mbox{${\mathbb{Q}}$}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt{2}$
5. $T=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\cup \{\sqrt[3]{2}\} \quad \implies \quad \langl... ...\mathbb{Q}}$}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt[3]{2}+\mbox{${\mathbb{Q}}$}\sqrt[3]{4}$

�������ξ���������ǡ��������꤬ɬ�פˤʤ�Τǡ������˷Ǥ��Ƥ�����

���� 2.2 (��Ǥ�ոĿ�����ʬ�Ĥζ�����ʬ�Ϥޤ���ʬ�ĤǤ��롣��)   $R$ �ϴĤǤ���Ȥ��� $\{S_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ �� $R$ ����ʬ�Ĥ�²�Ǥ��ä��Ȥ��롣���ΤȤ���

$$S=\cap_\lambda S_\lambda$$

��ޤ� $R$ ����ʬ�Ĥˤʤ롣

�ºݤˤϡ������������ʬ�Ĥˤϼ��Υѥ�����Τ�Τ��褯�Ȥ��롣

��� 2.2   $R$ ��ġ�$S$ �ò¤½¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¬ï¿½Ä¤È¤ï¿½ï¿½ë¡£$R$ �θ� $r_1,\dots,r_n$ ��Ϳ����줿�Ȥ��� $R$ ����ʬ���� $S\cup \{r_1,\dots,r_n\}$ �������������ʬ�Ĥ� $S[r_1,\dots,r_n]$ �Ƚñ¤­¡ï¿½$S$ �� $\{r_1,\dots,r_n\}$ ���������줿�ĤȤ�֡�

���ε�ˡ�ˤ��С�������4.,5. �Ϥ��줾�켡�Τ褦�˽񤱤롣

   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[\sqrt{2}]=$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt{2} ,$$   $$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$[\sqrt[3]{2}] =$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt[3]{2}+$$$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$$$\sqrt[3]{4}$$

���Τ褦�ˡ� $S[r_1,\dots,r_n]$ ���ºݤˤϤɤΤ褦�ʸ��� ��ĤΤ����ꤹ�뤳�Ȥ����Ū�ǡ����פǤ��롣������̾� ���μ��ǹԤ���

1. $S[r_1,\dots,r_n]$ �θ��� $T$ ��õ����
2. $T$ �� $S[r_1,\dots,r_n]$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤळ�Ȥ�������롣
3. $T$ �� $R$ ����ʬ����Ǥ��뤳�Ȥ�������롣
4. $T$ �θ��� $S$ �ȡ� $r_1,\dots,r_n$ ���鹽�������뤳�Ȥ� �������롣����������ȡ� $S\cup \{r_1,\dots,r_n\}$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤ� $R$ ����ʬ�Ĥϡ�ɬ�� $T$ ��ޤळ�Ȥ�������롣

��� 2.3   $R$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���$X$ ���ѿ��Ȥ��� $R$ �����ΰ��ѿ�¿�༰������

$$\{\sum_{i=0}^n a_iX^i ;\quad n\in \mathbb{N}, a_i \in R\}$$

�ϴĤ�ʤ���(­���������������̾�Τ�Τ�ͤ��롣) ���δĤ� $X$ ���ѿ��Ȥ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�ĤȤ�����

���� 2.1   $X$ ���ѿ��Ȥ��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�Ĥϡ�$R$ �ȡ�$X$ �Ȥ���������롣

$$\{\sum_{i=0}^n a_iX^i ;\quad n\in \mathbb{N}, a_i \in R\} =\langle R\cup \{X\} \rangle_{\text{ring}}=R[X]$$

(�������äơ����줫��� $R$ ��ΰ��ѿ�¿�༰�ĤΤ��Ȥ� $R[X]$ �Ƚ񤯡�)

����

���I ���ϰϤǤ�¾�� ${\mathbb{C}}[X],$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �������פˤʤ롣 ( $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , ${\mathbb{C}}$ , $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �������ΤǤ��������ʤ���ѤϲĴ��Ǥ��ꡢ 0 �ʳ��γƸ��ϵո�����ġ�)

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $S$ ���� $1,\sqrt{2}+\sqrt{5}$ �򸵤Ȥ��ƻ��äƤ���Ȥ��롣 ���λ��� $2\sqrt{10},6\sqrt{2},6\sqrt{5}$ �� $S$ �θ��Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

(II).

${\mathbb{C}}$ �Ρ� $\{1,\sqrt{2},\sqrt{5}\}$ �������������ʬ�Ĥϡ�

$${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\ma... ...}}$}}\sqrt{2}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{5}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\sqrt{10}$$

�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

(III).

$M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ �Ρ�$\{E,A\}$ �������������ʬ�Ĥ���ʤ����� ��������$E$ ��ñ�̹���$A$ �ϼ��Τ褦���󼡹���Ȥ��ޤ���

$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$