�����I���� No.1

���ιֵ�����Ⱦ�Ǥϡ����������ξ�������ɸ�Ȥ��롣

���� 1.1 (�Ĥν�Ʊ������)   �� $R$ �����̤δ� $S$ �ؤν�Ʊ������ $\phi:R\to S$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�����������Ω�ġ�

1. $\phi$ ���� $\operatorname{Image}\phi$ �� $S$ ����ʬ�ĤǤ��롣
2. $\phi$ �γ� $I=\operatorname{Ker}\phi$ �� $R$ �Υ��ǥ���Ǥ��롣
3. ��;�� $R/I$ �� $\operatorname{Image}\phi$ ��Ʊ���Ǥ��롣

��Ⱦ�Ǥϡ��Ĥ��Τμ��㡢�Ȥ��ˡְ켡���δġ� �ˤĤ��ƾܤ���������

�ԴĤ��������ʬ�Ĥ������

�ĤȤϡ�­�������������ȳݤ������Ǥ��뽸��Τ��ȤǤ��롣

��ʬ�ĤȤϡ���ʬ����Ǥ��äƴĤˤʤäƤ����ΤΤ��ȤǤ��롣

��� 1.1 (�Ĥ����)   ���� $R$ ���ĤǤ���Ȥϡ�­�����ȸƤФ�����

$$+: R\times R \to R$$

�ȳݤ����ȸƤФ�����

$$\times :R\times R \to R$$

���������Ƥ��Ƽ������������������˸����ޤ���

1. $R$ ��­�����˴ؤ��ƲĴ�����ʤ���($R$ ��­�����˴ؤ���ñ�̸��� $R$ �������Ȥ�����0 (���ˤ� $0_R$ ) �Ƚ񤯡�)
2. $R$ ���ѤϷ��ˡ§����������
3. $R$ ��­�����ȳݤ�����ʬ��ˡ§�������������ʤ����Ǥ�դ� $a,b,c \in R$ ���Ф��ơ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�
   $$(a+b)\times c=a\times c+b\times c,\quad c\times (a+b)=c\times a+c\times b$$

4. $R$ ���Ѥ˴ؤ���ñ�̸�����ġ����ʤ�������� $u\in R$ ��¸�ߤ��ơ� ���٤Ƥ� $x\in R$ ���Ф��ơ� $xu=x$ ���� $ux=x$ ������Ω�ġ�

�� 1.1   ���Τ�Τ��̾��­�������ݤ����ˤ�äƴĤˤʤ롣

1. (����)�������ΤΤʤ����� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. ͭ�������ΤΤʤ����� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. �¿����ΤΤʤ����� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
4. ʣ�ǿ����ΤΤʤ����� ${\mathbb{C}}$ .
5. �¿�����ʬ�Ȥ��ƻ���2���������������ΤΤʤ����� $M_2($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ .
6. (����)�¿���ΰ��ѿ�¿�༰���ΤΤʤ����� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$[X]$ .

���� 1.1   �� $R$ ��ñ�̸��ϡ�������ĤǤ��롣

���塢�� $R$ ��ñ�̸��� $1$ (���ˤ� $1_R$ )�Ƚ񤯡�

��� 1.2 (��ʬ�Ĥ����)   $R$ ��ñ�̸����ĴĤǤ���Ȥ��롣$R$ ����ʬ���� $S$ �� $R$ ����ʬ�ĤǤ���Ȥϡ�$S$ �����ξ������������ˤ�����

1. $S$ �� $R$ ��­��������������ή�Ѥ��뤳�Ȥˤ��ĤˤʤäƤ��롣
2. $S$ �� $R$ ��ñ�̸��򸵤Ȥ��ƴޤࡣ

�� 1.2   ���Τ�Τ�ʣ�ǿ����ΤΤʤ��� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�ĤǤ��롣

1. �������Τν��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .
2. ͭ�������Τν��� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ .
3. �¿����Τν��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ .

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

���� 1.1   ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�� $R$ �� $\sqrt {-2}$ ��ޤ���Ȥ��ޤ��� ���ΤȤ���$R$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ����Ȥ��ƴޤळ�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 1.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-2}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mathbb{C}}$ ����ʬ�ĤǤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½