next up previous
Next: About this document ...

    

���س���1A�����

���� 15.1   $ f(x)=x^3+3x^2-5x+7$ �Ȥ����� ���ο� $ \epsilon$ �ȼ¿� $ a$ ��Ϳ����줿�Ȥ���Ȥ���

$\displaystyle \vert x-a\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(a)\vert<\epsilon
$

��ߤ��� $ \delta>0$ ���ĵ󤲡��ºݤˤ��� $ \delta$ �� �嵭�����������������Ȥ򼨤��ʤ�����

(����)

$\displaystyle \delta=\min(1,\frac{\epsilon}{ (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)})
$

���֤����ɤ��� �ºݡ����ΤȤ��� $ x-a=h$ �Ȥ����ơ�

$\displaystyle \vert h\vert=\vert x-a\vert<\delta
$

�Ȥ����

  $\displaystyle \vert h\vert<1,$ (��)
  $\displaystyle (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9)\vert h\vert<\epsilon.$ (��)

���ʤꤿ�ġ������ (��)����

% latex2html id marker 932
$\displaystyle \vert h\vert \leq \vert h\vert^2 \leq \vert h\vert^3.$ (��)

���ʤꤿ�ġ� ���������դ��� $ \vert f(x)-f(a)\vert$ �򲼤Τ褦��ɾ��������ɤ���

  $\displaystyle \vert f(x)-f(a)\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \vert(a+h)^3+3(a+h)^2-5(a+h)+7-(a^3+3 a -5 a +7)\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \vert 3 a ^2 h + 3 a h^2 + h^3 +6 a h + 3 h^2 -5 h\vert$    
% latex2html id marker 940
$\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 941
$\displaystyle \vert 3 a ^2 h\vert +\vert 3 a h^2\vert + \vert h^3\vert +\vert 6 a h\vert + \vert 3 h^2\vert + \vert 5 h\vert\qquad$    
% latex2html id marker 942
$\displaystyle \underset{\text{(¤¦)}}{\leq}$ % latex2html id marker 943
$\displaystyle \vert 3 a ^2\vert \vert h\vert +\vert...
...ert h\vert +\vert 6 a\vert \vert h\vert + 3 \vert h\vert + 5 \vert h\vert\qquad$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle (3 \vert a\vert^2+9\vert a\vert+9 ) \vert h\vert \underset{\text{(¤¤)}}{<}\epsilon$    

% latex2html id marker 1101
$ \qedsymbol$

���� 15.2   $ f(x)=\frac{1}{x^2}$ �Ȥ����� $ \epsilon>0$ ��Ϳ����줿�Ȥ���Ȥ���

$\displaystyle \vert x-10\vert<\delta \ \implies\ \ \vert f(x)-f(10)\vert<\epsilon
$

��ߤ��� $ \delta>0$ ���ĵ󤲡��ºݤˤ��� $ \delta$ �� �嵭�����������������Ȥ򼨤��ʤ�����

(����)

$\displaystyle \delta=\min(1,\epsilon)
$

�Ȥ����Ф褤�� �ºݡ����ΤȤ��� $ x-10=h$ �Ȥ����ơ�

$\displaystyle \vert h\vert=\vert x-10\vert<\delta
$

�Ȥ����

  $\displaystyle \vert h\vert<1,$ (��)
  $\displaystyle \vert h\vert<\epsilon.$ (��)

���ʤꤿ�ġ������ (��)����

% latex2html id marker 970
$\displaystyle \vert h\vert \leq \vert h\vert^2 ,$ (��)

% latex2html id marker 972
$\displaystyle \vert(10+h)\vert\underset{\text{»°³ÑÉÔÅù¼°}}{\geq} 10-\vert h\vert \underset{\text{(¤¢)}}{ \geq} 9.$ (��)

���ʤꤿ�ġ����������դ��� $ \vert f(10+h)-f(10)\vert$ �򲼤Τ褦��ɾ��������ɤ���

  $\displaystyle \vert f(10+h)-f(10)\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{(10+h)^2}-\frac{1}{10^2}\right\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{10^2-(10+h)^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{-20 h - h^2}{10^2 (10+h)^2}\right\vert$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot \vert 20 h+h^2\vert$    
% latex2html id marker 984
$\displaystyle \leq$ % latex2html id marker 985
$\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( \vert 20 h\vert+\vert h^2\vert) \qquad($����������$\displaystyle )$    
% latex2html id marker 987
$\displaystyle \underset{\text{(¤¦)}}{\leq}$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 20 \vert h\vert+\vert h\vert)$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle \left\vert\frac{1}{10^2 (10+h)^2}\right\vert\cdot( 21 \vert h\vert)$    
% latex2html id marker 991
$\displaystyle \underset{\text{(¤¨)}}\leq$ % latex2html id marker 992
$\displaystyle \frac{1}{10^2\cdot 9^2} \cdot 21 \vert h\vert \leq \vert h\vert \underset{\text{(¤¤)}}{<}\epsilon$    

% latex2html id marker 1102
$ \qedsymbol$

���� 15.3   ��� $ c$ ����ꤷ�ơ�

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 1001f_c(x)=
\begin{cases}
\sin(\fra...
...{ $x\neq 0$ ¤Î¤È¤­})\\
c & (\text{ $x= 0$ ¤Î¤È¤­})
\end{cases}\end{displaymath}

��������롣���λ���
  1. $ c= 0$ �ΤȤ��� $ f_c(=f_0)$ �� $ x=0$ ��Ϣ³�Ǥʤ����Ȥ�������ʤ�����
  2. % latex2html id marker 1009
$ c\neq 0$ �ΤȤ��� $ f_c$ �� $ x=0$ ��Ϣ³�Ǥʤ����Ȥ�������ʤ�����
�����������Ѵؿ� $ \sin(x)$ �ˤĤ��Ƥϡ�����3�ĤΤ��ȤϾ����ʤ����Ѥ��Ƥ��ɤ��� (����ʳ���������Ŭ���������뤫��������󼨤����Ѥ��뤳�ȡ�)
(S1).
% latex2html id marker 1017
$ \sin(x+2 \pi)=\sin(x) \qquad(\forall x\in$   $ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ ).$
(S2).
$ \sin(\frac{\pi}{2})=1$ .
(S3).
$ \sin(0)=0$ .

(����)

(1) (S1), (S2) �ˤ�ꡢ

% latex2html id marker 1025
$\displaystyle \sin(\frac{\pi}{2}+ 2 n \pi)=1 \qquad(n=0,1,2,3,\dots).
$

���ưפˤ狼�롣 ��äơ�

% latex2html id marker 1027
$\displaystyle f_0(\frac{2}{(4 n +1)\pi})=1 \qquad(n=0,1,2,3,\dots).
$

�⤷���� $ f_0$ �� $ x=0$ ��Ϣ³�Ǥ��ä��Ȥ���ȡ� (Ϣ³��������� $ \epsilon$ �Ȥ��� $ \frac{1}{2}$ ����Ѥ��ơ�)

$\displaystyle \exists \delta>0 ; \left( \vert x-0\vert<\delta \ \implies \vert f_0(x)-f_0(0)\vert<\frac{1}{2}\right)$ (��)

���ʤꤿ���ͤФʤ�ʤ����Ȥ����������Τ褦�� $ \delta$ �ˤ������� $ n_0$ �Ȥ��ơ�

$\displaystyle n_0=\left \ulcorner \frac{1}{\delta} \right \urcorner
$

(���ʤ���� $ \frac{1}{\delta}$ �ʾ�Ǥ���褦�ʺǾ�������)��Ȥäơ�

$\displaystyle a= \frac{2}{(4 n_0+1)\pi}
$

�Ȥ����ȡ�

$\displaystyle \vert a-0\vert=\vert a\vert<\delta$    �ˤ⤫����餺 $\displaystyle \vert f_0(a)-f_0(0)\vert=1 \not < \frac{1}{2}
$

�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣 (���β�����ǤϾܺ٤�ά���뤬���ºݤˤϳΤ��᤿�ۤ����ɤ���) ����� (��) ��̷�⤹�뤫�顢$ f_0$ �� $ x=0$ ��Ϣ³�Ǥ� �ʤ����Ȥ��狼�롣 % latex2html id marker 1103
$ \qedsymbol$

(2) (S1), (S3) �ˤ�ꡢ

% latex2html id marker 1056
$\displaystyle \sin( 2 n \pi)=0 \qquad(n=1,2,3,\dots).
$

���ưפˤ狼�롣 ���Ȥϡ�Ϣ³��������� $ \epsilon$ �Ȥ��� $ c/2$ �� ���Ѥ���� (1) ��Ʊ�ͤε����� $ f_c$ ��Ϣ³�ˤʤ����ʤ����Ȥ��狼�롣

% latex2html id marker 1104
$ \qedsymbol$

(���������դ��䵭)

(����)

����15.1 �Ǥϡ������������λȤ��������äƤ���������褯���������� ���������ʤꤿ�ĤΤ�

% latex2html id marker 1064
$\displaystyle \vert a+b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert
$

��

% latex2html id marker 1066
$\displaystyle \vert a\vert-\vert b\vert\leq \vert a-b\vert
$

�Ǥ��롣(�ʤ�����Ԥ����Ԥ��ѿ��Ѵ��ˤ���ưפ������롣)

����15.2 �Υݥ���Ȥϡ�ʬ���ɾ���Ǥ��롣 ʬ�졢ʬ�ҤȤ�����ο���ʬ���ˤ����Ƥϡ� ʬ�줬�������ʤ�ۤ��ͤ��礭���ʤ��� �������äơ��������(��)�Τ褦��ɾ����ɬ�פǤ��롣

����15.3 �Υ���դ϶��ʽ��P.18 �ˤ��롣(������ $ x>0$ ����ʬ����) ���δؿ��� $ x=0$ �Ǥ��ͤ�ɤ����褦�ȷ褷��Ϣ³�ˤϤʤ����ʤ� �Ȥ����Τ�����ΰ�̣��������Ǥ� $ n_0$ �Ȥ��� $ \ulcorner n_0 \urcorner$ ����Ѥ��������������¾���ͤǤ��ɤ���������������Ѥ���Τ��ɤ����� ���ܸ�ǡ֡�������礭�������פΤ褦�˽񤤤Ƥ��ɤ���

(�䵭) ����15.1, 15.2 �ϴؿ���Ϣ³�����䤦����Ǥ��롣 �ºݤˤϤ����μ���Ϣ³��������ˤϡ����ʽ������1.11 �� �Ѥ���ۤ������äȰפ����� ���Ȥ��С�����15.1 �� $ f$ ��Ϣ³����Τ����ˤϤĤ��Τ褦�ˤ��Ƥ��Ф褤��

(Ϣ³1).
$ \epsilon$ -$ \delta$ ��ˡ�ˤ��Ĥ�����Ĥδؿ���Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ� �Τ����.
  1. ����ؿ� $ g_0(x)=1$ .
  2. �ؿ� $ g_1(x)=x$ .
(Ϣ³2).
�Ĥ��ˡ����ʽ������1.11 (2) ��Ĥ��äơ���ˡ�
  1. $ g_1(x)$ ��Ĥ��� $ g_2(x)=g_1(x)\times g_1(x)=x^2$
  2. $ g_1(x)$ �� $ g_2(x)$ ���� $ g_3(x)=x^3$
�Τ褦��ñ�༰��ɽ�����ؿ���Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ�Τ���롣
(Ϣ³3).
�Ǹ�ˡ����ʽ������1.11 (1)��
  1. $ h(x)=x^3+3 x^2=g_3(x)+3 g_2(x)$
  2. $ k(x)=x^3+3 x^2-5x =h(x)-5 g_1(x)$
  3. $ f(x)=x^3+3 x^2-5x+7 =k(x)+7$
�Τ褦��¿�༰�˽���Ѥ��뤳�Ȥˤ�ꡢ���̤�¿�༰��Ϣ³�Ǥ��뤳�Ȥ� �Τ���롣
ARRAY(0x8b68cf0)ARRAY(0x8b68cf0)ARRAY(0x8b68cf0)ARRAY(0x8b68cf0)
next up previous
Next: About this document ...
2007-08-02