���س���1A���� No.10

���� 10.1 (``���ʽ�����1.9'')   3�Ĥ� �ؿ� $f,g,h$ ���� �¿� $a$ ��ޤ��� $D$ ���������Ƥ��ꡢ $x\in D$ $(x\neq a)$ �ǡ� $f(x)\leq g(x)$ �Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $x\to a$ �ΤȤ��� $f(x),g(x)$ �ζ˸¤��Ȥ��¸�ߤ���С�
   $$\lim_{x\to a} f(x) \leq \lim_{x\to a} g(x).$$

2. $x\in D (x\neq a)$ ���ϰϤǡ� $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$ �Ǥ��äơ� �ʤ�����
   $$\lim_{x\to a } f(x)=\lim_{x\to a} g(x) \quad($$�����������ͤ� $A$ �Ȥ���$$)$$
   ���ʤꤿ�ĤȤ���ȡ� $h(x)$ �� $x\to a$ �ΤȤ��ζ˸¤�¸�ߤ��ơ� $A$ ����������

���� 10.2   $f,g$ �� $a$ �ζ᤯���������Ƥ��ꡢ

$$\lim_{x\to a}f(x)=A,\quad \lim_{x\to a}g(x)=B$$

�����줾��¸�ߤ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $\lim_{x\to a}(c_1 f(x)+c_2 g(x))=c_1 A +c_2 B$ . (� $c_1,c_2 \in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ .)
2. $\lim_{x\to a}( f(x)\cdot g(x))= A B$ .
3. $B\neq 0$ �ΤȤ����������μ¿� $c$ ��¸�ߤ��ơ� $g(x)$ �� $(a-c,a+c)$ ��(�������Ƥʤ�����) 0 �ʳ����ͤ�Ȥꡢ
   $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}.$$

���� 10.1   $f(x)=x^3+3 x- 5$ �Ȥ��������ΤȤ������μ¿� $\epsilon$ �ˤ������ơ�

$$\vert x-1\vert<\delta \implies \vert f(x)-f(1)\vert<\epsilon$$

��ߤ����褦�����ο� $\delta$ ���㤢���ơ��ºݤ����Τ���ʤ�����

���� 10.2   �ؿ� $f(x)$ �� $a$ �ζ᤯���������Ƥ��ꡢ$f$ �� $a$ ��Ϣ³�� ���ʤ�� �˸� $A=\lim_{x\to a} f(x)$ ��¸�ߤ��� $f(a)$ ���������Ȥ��롣 (����9.1 ��Ȥ��ۤ��������Ǥ��롣) ���ΤȤ������� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �� $a$ �˼�«����С�

$$\lim_{n\to \infty}f(a_n)=A$$

�Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 10.3   ����εդϤɤ��������ʤ���� �ؿ� $f(x)$ �� $a$ �ζ᤯���������Ƥ��ꡢ$f$ ���� ����

$a$ �˼�«����Ǥ�դ����� $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ �ˤ������ơ�

$$\lim_{n\to \infty}f(a_n)=A$$

��ߤ����С�$f$ �� $a$ ��Ϣ³�Ǥ���ȸ�������������� ��ͳ��󤲤ƽҤ٤ʤ�����(�����ऺ������)

$\frac{n^5}{1.1^n}$ �Τ��������� $n$ �ˤĤ��Ƥ���

$n$	$n^5$	$(1.1)^n$	$\frac{n^5}{1.1}$
1	1	1.10	0.909
2	32	1.21	26.446
3	243	1.33	182.569
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	100000	2.59	38554.329
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
51	345025251	12912	2671922.994
52	380204032	14204	2676683.920
53	418195493	15624	2676498.687
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10000000000	13780.61	725657.159
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
200	320000000000	189905276.53	1685.051
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
299	2389769101499	2379100905625.82	1.004
300	2430000000000	2617010996188.40	0.928
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
310	2862915100000	6787852539362.45	0.422

$$\left. \frac{n^5}{1.1^n}\right\vert _{n=400}= .0002839395524$$ 0

$$\left.\frac{n^5}{1.1^n}\right\vert _{n=500}= .00000006287926297$$ 0