���ܸ쵻ˡ No.4

$\forall$ �� $\exists$

��� 4.1   �ѿ� $x$ ��ޤ�褦��̿�� $P$ �ˤ������ơ�

1. $\forall x (P(x))$ �� �֤ɤΤ褦�� $x$ �ˤ������Ƥ⡢$P(x)$ ������Ω�ġ� �Ȥ�����̣�Ǥ��롣
2. $\exists x (P(x))$ �� �־��ʤ��Ȥ��Ĥ� $x$ �ˤ������ơ�$P(x)$ ������Ω�ġ� �Ȥ�����̣�Ǥ��롣

����Ū�ˤϡ�$\forall$ , $\exists$ ������������������ȡ� �������δ��Ĥ��ε�����Ȥ߹�碌�뤳�Ȥˤ�ꡢ���ؤ� ���٤Ƥθ��դ򵭹���������Ǥ��롣

�㤨�ФĤ���ʸ�ϡ��ֿ���Ū��Ǽˡ�פ�ɽ��������ΤǤ��롣

$$\forall S(0\in S$$ and $$(\forall n\in\mathbb{N}(n\in S\implies (n+1)\in S)) \implies \mathbb{N}\subset S)$$

�ޤ����Ĥ���ʸ�Ϥϡ��� $(X,\mathcal U)$ �ϰ�����֤Ǥ���� �Ȥ�������(�����)��Ҥ٤���ΤǤ��롣

1. $\mathcal U \subset 2^X.$
2. $(\emptyset \in \mathcal U )$    and $(X\in \mathcal U).$
3. $\forall U( \forall V(U,V\in \mathcal U \implies U\cap V \in \mathcal U)).$
4. $\forall \mathcal S (\mathcal S\subset \mathcal U \implies \bigcap_{ U\in \mathcal S } U\in \mathcal U).$

���ؤˤ����������ϡ� �����ε�����˴ؤ����ñ��ʷ׻��פǤ��롣 �Ĥޤꡢ���������ɤ��פȤϡ�������ñ��ʷ׻��� �ְ㤤�ʤ����᤯�Ԥʤ����ȤǤ��롣����ϡ� �������ζ���Ʊ���褦�ˡ� �����򤹤�ФۤȤ��ï�Ǥ�Ǥ��롣 ���������Ĥ��Τ褦��������ɬ�פǤ��롣

1. �׻�ˡ��Ф��뤳�ȡ�
2. ������׻��ΰ�̣��ͤ��뤳�ȡ�
3. ȯŸ����ˤĤ��Ʋ򤤤Ƥߤ뤳�ȡ�

���������äƺ���ϡ��Ĥ��Τ��Ȥ����դ��褦��

�о��ʪ($x$ �� $y$ �ʤɤ��ѿ�)�νФƤ�����֤� ����Ǥ��롣

�㤨�С� $J=\{$���������祭���ѡ�$\}$ , �ˤ������ơ� $x\succ y$ �򡢡�$x$ �� $y$ ��궯���פȤ����դ����������ȡ�

$$\forall x\in J (\exists y\in J ( y \succ x))$$

�Ͽ���̿�������

$$\exists y\in J (\forall x\in J( y \succ x))$$

�ϵ���̿��Ǥ��롣

���� 4.1   �ѿ� $x,y$ �ˤĤ��Ƥ�̿�� $P(x,y)$ �ǡ�

$$\forall x \exists y (P( x , y))$$

�Ͽ���̿�������

$$\exists y \forall x( P(x, y))$$

�ϵ���̿��Ǥ��� �褦�ʤ�Τ�󤲡��ɤ����Ƥ����ʤΤ������񤭤ʤ�����

&dotfill#dotfill;

(���)

$$\forall x\in J (P(x))$$

�Ϥ�����Ƚ񤯤�

$$\forall x (x\in J \implies P(x))$$

�Ȥ�����̣��

$$\exists y\in J (P(y))$$

�Ϥ�����Ƚ񤯤�

$$\exists y (y\in J$$    and $$P(y))$$

�Ȥ�����̣�ξ�ά���Ǥ��롣