next up previous
Next: About this document ...

    

�����III �����

���� 15.1   % latex2html id marker 1366
$ \alpha=\sqrt{2}+2\sqrt{3}$ , % latex2html id marker 1368
$ \beta=3\sqrt{3}+4\sqrt{10}$ , % latex2html id marker 1370
$ \gamma=5\sqrt{2}-6\sqrt{10}$ �Ȥ��� ͭ���� $ a,b$ �ˤ������� $ \delta=a \alpha +\beta+ b\gamma$ , $ L=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ (\delta)$ �Ȥ�����
  1. $ a=1,b=1$ �ΤȤ��� $ [L:$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ]$ ����衣
  2. $ [L:$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ]=2$ �ʤ� $ (a,b)$ ��2�ȵ�ᡢ���ΤȤ��� $ L$ �� ���줾����衣

����:

(1) $ L_1=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1396
$ (\sqrt{2},\sqrt{3 },\sqrt{10})$ �Ȥ����� $ L_1=L$ �Ǥ��äơ��ʤ����� $ [L:$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ]=8$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤����� ���������

$\displaystyle [L:$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle ]=8
$

�Ǥ��뤳�Ȥ��狼�롣

Part 0)�ޤ��Ĥ��������������Ƥ�����

���� 15.1   �� $ K$ �θ� $ a,b$ ���Ф��ơ�

% latex2html id marker 1417
$\displaystyle K(\sqrt{b})\ni \sqrt{a}
$

�ʤ�� $ a,b,ab$ �Τ����ɤ줫��Ĥ� $ K$ �θ������Ǥ��롣

Proof. ����ˡ�ǡ�$ a,b,ab$ �Τ������ $ K$ �θ������Ǥʤ��Ȳ��ꤹ�롣 % latex2html id marker 1430
$ K(\sqrt{b})\ni \sqrt{a}$ �����顢���� $ c_0,c_1\in K$ ��¸�ߤ��ơ�

% latex2html id marker 1434
$\displaystyle \sqrt{a}=c_0 +c_1 \sqrt{b}
$

�Ƚ񤱤롣ξ�դ���褹���

% latex2html id marker 1436
$\displaystyle a=c_0^2 +c_1^2 b +2 c_0 c_1 \sqrt{b}.
$

����ˤ�ꡢ % latex2html id marker 1438
$ K \ni \sqrt{b}$ �椨�� % latex2html id marker 1440
$ [K(\sqrt{b}):K]=2$ ���ʤ�� $ 1$ �� % latex2html id marker 1444
$ \sqrt{b}$ �� $ K$ ��켡��Ω�Ǥ��롣��äơ�

% latex2html id marker 1448
$\displaystyle a=c_0^2+c_1^2 b, \quad 2 c_0 c_1 =0
$

�Ȥ��� ��Ԥμ����� $ c_0=0$ �ޤ��� $ c_1=0$ ���狼�롣 ���ʬ���򤷤褦��

(i) $ c_0=0$ �ξ�硣

% latex2html id marker 1456
$\displaystyle \sqrt{a}=c_1 \sqrt{b}
$

���ʤ��

% latex2html id marker 1458
$\displaystyle \sqrt{ab}=c_1 b \in K
$

���ʤꤿ�ġ������ $ ab$ �� $ K$ �θ������Ǥʤ��Ȥ��������ȿ���롣

(ii) $ c_1=0$ �ξ�硣

% latex2html id marker 1466
$\displaystyle \sqrt{a}=c_0 \in K
$

���ʤꤿ�ġ������ $ a$ �� $ K$ �θ������Ǥʤ��Ȥ��������ȿ���롣

�ɤξ���̷�⤬���������顢���꤬���������Ȥ��������줿���Ȥˤʤ롣 % latex2html id marker 1423
$ \qedsymbol$

Part I) $ [L_1:$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ]$ ����褦������ˤ�

$\displaystyle L_1=$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1478
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10})
\subset$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1480
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3})\subset$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1482
$\displaystyle (\sqrt{2}) \subset$   $\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$

�ʤ���ʬ�Τ����ͤ��ơ��ƥ��ƥåפǤγ��缡����ơ�������ɤ��� ���줾��Υ��ƥåפǤϡ�ʿ�������Ĥ����դ��ä��Ƥ���ΤǤ��뤫�顢 ���缡����2�����ޤ��� 1���������礷�Ƥ��ʤ�)���Τ����줫�Ǥ��롣

�ֵ��ǽҤ٤��褦�ˡ�% latex2html id marker 1485
$ \sqrt{2}$ ��ͭ�����Ǥʤ����������äơ�

$\displaystyle [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1489
$\displaystyle (\sqrt{2}):$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle ]=2.
$

�Ĥ��ˡ� % latex2html id marker 1493
$ \sqrt{3},\sqrt{2},\sqrt{2\cdot 3}(=\sqrt{6})$ �Τ������ $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �θ��Ǥʤ����Ȥ��顢������Ѥ��ơ� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1498
$ (\sqrt{2})\not\ni \sqrt{3}$ ���狼�롣�椨�ˡ�

$\displaystyle [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1502
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3}):$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1504
$\displaystyle (\sqrt{2})]=2.
$

����ˡ� % latex2html id marker 1506
$ \sqrt{10}\notin$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1508
$ (\sqrt{2},\sqrt{3})$ �Ǥ��롣����� ������������ˡ�ǡ� % latex2html id marker 1510
$ \sqrt{10} \in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1512
$ (\sqrt{2},\sqrt{3})$ �Ȳ��ꤹ��ȡ������ $ K=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1516
$ (\sqrt{2})$ �ξ��ˤ�����ơ� % latex2html id marker 1518
$ \sqrt{10},\sqrt{3},\sqrt{10\cdot 3}(=\sqrt{30})$ �� �����줫�� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1521
$ (\sqrt{2})$ ��°���ͤФʤ�ʤ��ʤ롣�Ƥ������ (���٤� $ K=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �Ȥ���)�������ȡ�

% latex2html id marker 1526
$\displaystyle \sqrt{2},\sqrt{10},\sqrt{3},\sqrt{30},
\sqrt{20},\sqrt{6},\sqrt{60}
$

�Τ����줫�� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��°���ͤФʤ�ʤ����Ȥˤʤ뤬������Ϲֵ��� �Τ٤��褦��̷�⡣

��äơ�

$\displaystyle [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1532
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}):$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1534
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3})]=2.
$

���

  $\displaystyle [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1537
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}):$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle ]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1543
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}):$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1545
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3})] [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1547
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3}),$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle ]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle 2 [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1553
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3}),$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle ]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle 2 [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1559
$\displaystyle (\sqrt{2},\sqrt{3}),$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1561
$\displaystyle (\sqrt{2})] [$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1563
$\displaystyle (\sqrt{2}),$$\displaystyle \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\displaystyle ]$    
$\displaystyle =$ $\displaystyle 2 \cdot 2 \cdot 2 =8.$    

$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1570
$ (\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10})$ �� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��Υ٥��ȥ���֤Ȥ���

% latex2html id marker 1574
$\displaystyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}, \sqrt{6},\sqrt{10},\sqrt{15}, \sqrt{30}
$

�� $ 8$ �Ĥ���������Ƥ��뤳�Ȥ��ưפˤ狼�뤫�顢 ��μ����η׻��Ϥ���� $ 8$ �Ĥ� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��켡��Ω�Ǥ��뤳�Ȥ��ݾڤ��Ƥ��� ���Ȥˤ����դ��Ƥ�������

Part II) $ \operatorname{Gal}(L_1/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )$ ����褦�� $ L_1$ �� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��������� % latex2html id marker 1590
$ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ �� ����Ϥ��줾�� $ L_1$ �Τʤ���¸�ߤ���Τǡ�$ L_1$ �� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ �� ͭ�¼�����������硢���ʤ������������Ǥ��롣 $ G=\operatorname{Gal}(L_1/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )$ �θ��� % latex2html id marker 1602
$ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ �� �ơ��ιԤ���(���줾�����̤�)����Ƥ��ȷ�ޤꡢ�⡹ 8�Ĥ����ʤ���

¾���ǡ� $ \vert\operatorname{Gal}(L_1/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )\vert=[L_1:$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ ]=8$ �Ǥ��뤫�顢��ɾ嵭��ǽ���� ���٤Ƥ����������θ��Ȥ��Ƶ�����뤳�Ȥˤʤ롣���ʤ���� $ \epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3 \in \{\pm 1\}$ �ˤ������ơ� $ \sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}\in G=\operatorname{Gal}(L_1/$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ )$ ��

  % latex2html id marker 1615
$\displaystyle \sigma_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}(\sqrt{2})=\epsilon_1 \sqrt{2}$    
  % latex2html id marker 1616
$\displaystyle \sigma_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}(\sqrt{3})=\epsilon_2 \sqrt{3}$    
  % latex2html id marker 1617
$\displaystyle \sigma_{\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}(\sqrt{10})=\epsilon_3 \sqrt{10}$    

�Ȥʤ�褦�����뤳�Ȥ��Ǥ��ơ�$ G$ �θ��Ϥ��ʤ餺�����񤱤롣

Part III) $ L_1=L$ �򼨤����� $ \sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}$ �� % latex2html id marker 1625
$ \delta=6\sqrt{2}+5\sqrt{3}-2 \sqrt{10}$ . �˺��Ѥ�����ȡ�

% latex2html id marker 1627
$\displaystyle \sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsi...
...}(\delta)
=
6\epsilon_1 \sqrt{2}+5 \epsilon_2 \sqrt{3}-2 \epsilon_3 \sqrt{10}.
$

Part I) �κǸ�����դ����褦�ˡ� % latex2html id marker 1629
$ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ �� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ ��켡��Ω�Ǥ��뤫�顢

% latex2html id marker 1633
$\displaystyle \sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsi...
...
\implies \quad
\sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3}={\operatorname{id}}
$

���狼�롣�Ȥ��ˡ� $ \operatorname{Gal}(L_1/L)={\operatorname{id}}.$ �������δ��������ˤ�ꤳ��� $ L=L_1$ ���̣���Ƥ��롣

(2)

% latex2html id marker 1639
$\displaystyle \delta=(a+5b )\sqrt{2}+(2a+3)\sqrt{3}+(4-6b)\sqrt{10}
$

�Ǥ��뤫�顢

% latex2html id marker 1641
$\displaystyle \sigma_ {\epsilon_1,\epsilon_2,\epsi...
...=
(a+5b )\epsilon_1\sqrt{2}+(2a+3)\epsilon_2\sqrt{3}+(4-6b)\epsilon_3\sqrt{10}
$

�Ǥ��롣 $ (\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)$ �� $ \{\pm 1\}^3$ ����� �������Ȥ�����μ������礦����Ĥ��ͤ�Ȥ�褦�ˤ���Ф褤�� ����ˤ� % latex2html id marker 1647
$ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{10}$ �η����Τ����� ���礦����Ĥ� 0 �ˤʤ�褦�����٤��ɤ����顢�Ĥ���3�Ȥ��꤬�ͤ����롣 (�����Ȥ��ƤϤ�����Τɤ�Ǥ⤤��������Ĥ�񤤤Ƥ�����ɤ���)

(��) $ a+5b=0, 2a+3=0$ , ���ʤ�� $ a=-\frac{3}{2}, b=\frac{3}{10}$ �ΤȤ���

���ΤȤ��� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ (\delta)=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1657
$ (\sqrt{10})$ �Ǥ��롣

(��) $ a+5b=0, 4-6b=0$ , ���ʤ�� $ a=-\frac{10}{3},b=\frac{2}{3}$ �ΤȤ���

���ΤȤ��� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ (\delta)=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1666
$ (\sqrt{3})$ �Ǥ��롣

(��) $ 2a+3=0, 4-6b=0$ , ���ʤ�� $ a=-\frac{3}{2},b=\frac{2}{3}$ �ΤȤ���

���ΤȤ��� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ (\delta)=$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1675
$ (\sqrt{2})$ �Ǥ��롣


next up previous
Next: About this document ...
2007-02-05