�����III ���� No.5

�����Υơ���

��� 5.1   $K$ ����� $L$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���$L$ �� $K$ ��� �٥��ȥ���֤Ȥߤʤ����Ȥ��Ǥ��롣 ���Τ褦�ˤߤ��Ȥ��� $L$ �� $K$ �٥��ȥ���֤Ȥ��Ƥμ����� $L$ �� $K$ ��� ���缡���ȸƤӡ�$[L:K]$ �ǽ�ɽ����

̿�� 5.1   ��������� 4.2�ǡ� $L$ �� $K$ ��γ��缡���� $m$ ��¿�༰�Ȥ��Ƥμ�������������

���� 4.2 ���Ѥ���ȡ����Τ��Ȥ�ʬ���롣

���� 5.2   �� $K$ ����� $L_1$ �� $L_2$ �����äơ� $L_1=K(a_1)$ , $L_2=K(a_2)$ ��ߤ����褦�� $a_1\in L_1$ �� $a_2\in L_2$ ������Ȥ��롣�⤷��$a_1$ �� $a_2$ �� $K$ ��κǾ�¿�༰���������ʤ�С�$L_1$ ���� $L_2$ �ؤ� �ĤȤ��Ƥν�Ʊ������ $\phi$ �ǡ� $\phi\vert _K={\operatorname{id}}$ , ���� $\phi(a_1)=a_2$ �� ��������Τ�ͣ���¸�ߤ��롣

��������� $\phi$ �ϰ��Ρֶ����Ȥ������(No.1 ����)�Ǥ��롣 �Ȥ��� $L_1$ �� $L_2$ �Ȥ�(���ޤ���)�������Ȥ�������Ǥ��롣

�Ĥ�������ϡ����꤫��Ͼ�������뤬�� �����ʤΤǤ����Ƥ���������ʬ�ϰ�ش��������II�Ǥ�äƤ���Ϥ��Ǥ��롣

���� 5.1 (��������Ƚ��ˡ)  

1. 2���ޤ���3����¿�༰ $f(X)\in K[X]$ �� $K$ �����Ǥ��뤿��� ɬ�׽�ʬ���ϡ� $f(a)=0$ ��ߤ����褦�� $a\in K$ ��¸�ߤ��ʤ����ȤǤ��롣
2. 4����¿�༰ $f(X)\in K[X]$ �� $K$ �����Ǥ��뤿��� ɬ�׽�ʬ���ϡ� $f(a)=0$ ��ߤ����褦�� $a\in K$ ��¸�ߤ��������� $f$ �������ʤ�2���ΰ��� $g(X)\in K[X]$ ��⤿�ʤ����ȤǤ��롣
3. ����������¿�༰ $f\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �ˤ������ơ� $f$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �� ����ʤ�С�$f$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ �����Ǥ��롣(������)
4. $f\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}[X]$ ��ͭ������ $p/q$ ($p,q$ �ϸߤ����Ǥ�����)�� ¸�ߤ���ʤ顢$p$ �� $f$ ������������Ǥ��ꡢ $q$ �� $f$ �� �ǹ⼡�η���������Ǥ��롣

���� 5.1   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]/(X^2-2)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[X]$ �� $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[Y]/((Y-1)^2-8)$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$[Y]$ �ȤϴĤȤ���Ʊ������������ (��ͳ��Ҥ٤뤳�ȡ�)