next up previous
Next: About this document ...

����� C No.12����

\fbox{º£Æü¤Î¥Æ¡¼¥Þ} �桼����åɤθ߽�ˡ

���� 12.1   �� $ G$ �θ� $ a$ ���� $ a^{1485}=e$ , $ a^{1716}=e$ ��ߤ����Ȥ���Ȥ��� $ a^{33}=e$ �Ǥ��뤳�Ȥ�������ʤ�����

(����)

$\displaystyle e=a^{1716-1485}=a^{231} $

$ 1485$ �� $ 231$ �Ǥ��Ⱦ��� $ 6$ , ���ޤ�� $ 99$ �Ǥ��뤫�顢

$\displaystyle e=a^{1485-231\cdot 6}=a^{99} $

Ʊ�ͤˡ�$ 231$ �� $ 99$ �Ǥ��Ⱦ��� $ 2$ , ���ޤ�� $ 33$ �Ǥ��뤫�顢

% latex2html id marker 848 $\displaystyle e=a^{231-99\cdot 2}=a^{33} \qed $

���ơ� $ a^{1485}=e_1, a^{1716}=e_2$ �Ȥ�����$ e_1,e_2$ �� $ e$ �Ȥ� �ۤʤ�Ȥ��Ƥߤ롣�������Ʊ������Ԥʤ��ȡ�

$\displaystyle a^{231}=e_2e_1^{-1} $

$\displaystyle a^{99}=e_1 (e_2 e_1^{-1})^{-6}= e_1^{7} e_2^{-6} $

$\displaystyle a^{33}=e_2 e_1^{-1}(e_1^7 e_2^{-6})^{-2 }=e_1^{-15} e_2^{13} $

���Τ��Ȥ���

$\displaystyle -15 \cdot 1485 +13\cdot 1716=33 $

�����롣�դˡ��������������ΤäƤ���С����������Ф����Ԥβ�����

$\displaystyle a^{33}=a^{1485\cdot (-15)+ 1716\cdot 13}=(a^{1485})^{-15}(a^{1716})^{13}=e $

�ȸ������˽񤱤롣

���Τ褦�ʷ׻����ưפ˹Ԥʤ��Τ��桼����åɤθ߽�ˡ�Ǥ��롣 �����Ǥϼ�ü���᤯���Ĥ��Τ褦�ʹ��󻻤�Ȥ���ˡ��Ҳ𤹤롣

���� 12.2 (�桼����åɤθ߽�ˡ)   ����

$\displaystyle 72l+56m=8 $

������������ $ l,m$ ���Ȥ���ȵ��衣

(����) �ޤ����Τ褦�ʷ׻���Ԥʤ�

  $\displaystyle 72$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 56$ $\displaystyle = 1$    ;��  % latex2html id marker 878 $\displaystyle 16 \qquad\qquad$ $\displaystyle 72=$ $\displaystyle 56$ $\displaystyle \times 1 +$ $\displaystyle 16$ % latex2html id marker 883 $\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}72\ 56 \... ...\begin{pmatrix}1 & 1\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}56\ 16 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle 56$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 16$ $\displaystyle = 3$    ;��  % latex2html id marker 888 $\displaystyle 8 \qquad\qquad$ $\displaystyle 56=$ $\displaystyle 16$ $\displaystyle \times 3 +$ $\displaystyle 8$ % latex2html id marker 893 $\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}56\ 16 \... ... \begin{pmatrix}3 & 1\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}16\ 8 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle 16$   $\displaystyle \div$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle = 2$    ;��  % latex2html id marker 898 $\displaystyle 0 \qquad\qquad$ $\displaystyle 16=$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle \times 2 +$ 0 % latex2html id marker 902 $\displaystyle \qquad\qquad \begin{pmatrix}16\ 8 \e... ...= \begin{pmatrix}2 & 1\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}8\ 0 \end{pmatrix}$    

�ơ��ιԤι��󻻤��Ȥ߹�碌��ȡ�

$\displaystyle \begin{pmatrix} 72\\ 56 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ ... ...egin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 0 \end{pmatrix}$

�����롣���μ��α��դ˸������������Ϥ��٤� $ M_2({\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ �θ��Ȥ��� �ĵդǤ��뤳�Ȥ����դ��ơ���μ��򼡤Τ褦���ѷ����뤳�Ȥ�����롣

$\displaystyle \begin{pmatrix}8 \ 0 \end{pmatrix}$ $\displaystyle = \begin{pmatrix}2 & 1\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}... ...n{pmatrix}1 & 1\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}72\ 56 \end{pmatrix}$    
  $\displaystyle = \begin{pmatrix}0 & 1\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & ... ...gin{pmatrix}-3 & 4 \ 7 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}72 \ 56 \end{pmatrix}$    

���μ������Ԥ����ܤ���ȡ� $ 8=(-3)\times 72+ 4\times 56 $ �����롣

(��)     $ l=-3,m=4$ .

����ݡ�������

(I).
$ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���ǡ� $ 67773,144381$ ������������� $ H$ ��

$\displaystyle H=n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}} $

�η��ǽ񤭤ʤ����� ($ n$ ����ʤ�����)

next up previous
Next: About this document ...
2006-07-03