����� C No.9����

��Ʊ�������ξ����Ƚ�Ʊ�������α���

���� 9.1 (���ν�Ʊ������)   �� $G$ �����̤η� $H$ �ؤν�Ʊ������ $\phi:G\to H$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�����������Ω�ġ�

1. $\phi$ ���� $\operatorname{Image}\phi$ �� $H$ ����ʬ���Ǥ��롣
2. $\phi$ �γ� $N=\operatorname{Ker}\phi$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��롣
3. ��;�� $G/N$ �� $\operatorname{Image}\phi$ ��Ʊ���Ǥ��롣

(��­)

����ν�Ʊ�������Υ��ơ��ȥ��ȤǤϡ� $N$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ���Ȥ����Ҥ٤Ƥ��뤬���ºݤˤ� ������ʬ���Ǥ��롣

��������ˤʤ�Τϡ���Ʊ�������򤤤��˻Ȥ����ʤ������Ȥ������ȤǤ��롣

�� 9.1   $n$ �����������Ǥ���Ȥ��롣 ���ΤȤ� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ���� $C_n=\langle a; a^n=e$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(k)=a^k$$

���������ȡ�$f$ �����ͽ�Ʊ���Ǥ��ꡢ $\operatorname{Ker}(f)=n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ��롣 ���ν�Ʊ�������ˤ�ꡢ$f$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $C_n$ �Ȥ� Ʊ����Ϳ���뤳�Ȥ��狼�롣

�� 9.2   $n,m$ �����������ǡ�$n$ �� $m$ ���ܿ��Ǥ���Ȥ��롣���ΤȤ� $C_n=\langle a ; a^n=e\rangle$ ���� $C_m=\langle b; b^m=e \rangle$ �ؤ� ���� $f$ �� $f(a^k)=b^k$ ������ȡ� ����Ϥ��ޤ��������Ƥ��ơ����ͽ�Ʊ�������ˤʤäƤ��롣 $f$ �γ� $\operatorname{Ker}(f)$ �� $N=\langle a^{n/m}\rangle$ �˰��פ��롣 �椨�ˡ���Ʊ�������ˤ�ꡢ

$$C_n / N \cong C_m$$

����Ω���뤳�Ȥ�ʬ���롣

�� 9.3   �̿� $2n$ �������η� $\Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$ ���� $(\{\pm 1\},\times )$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

������ȡ���������ͽ�Ʊ�������ˤʤꡢ$f$ �γˤ� $\langle a \rangle =\{a^k;k=0,1,\dots,n-1\}$ �� ���פ��롣�椨�ˡ� $\langle a \rangle$ �� $\Bbb D_{n}$ ��������ʬ���Ǥ��ꡢ

$$\Bbb D_n /\langle a \rangle \cong \{\pm 1\}$$

����Ω���뤳�Ȥ��狼�롣

��ݡ�������

(I).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ �� $f([x]_8)=[15 x]_{20}$ ��Ϳ�����Ȥ������줬���ޤ��������Ƥ��뤳�Ȥ򼨤��� $f$ �����ν�Ʊ���Ǥ��뤳�ȡ�����ӽ�Ʊ�������ˤ�� $f$ ����������Ʊ�� ���б�ɽ���������ˡ�ˤ����ʤ�����

����:��������Ͻ�������ä���ʬ������ޤ����� (15�ΤȤ����� 12 �ǡ�����Ǥϼ��������ޤ��������ʤ���) �������Τ褦�ʸ���˵��Ť��Τ�����ʤΤǡ� ���Τޤ޺������ޤ���