1=8 1 by -1

����� C No.8����

��Ʊ���Ȥϡ��黻���ݤļ����λ��Ǥ��롣

��� 8.1   $G,H$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G$ ���� $H$ �ؤμ��� $f:G\to H$ ����Ʊ�������Τˤϡ����Ȥ��Ƥν�Ʊ������)�Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ�

$$f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)$$

������Ω�ĤȤ��˸����� ��Ʊ�� $f$ ����ñ�ͤǤ⤢�����$f$ ��Ʊ���ȸ�����

�� 8.1   ��Ʊ������

1. Ǥ�դη� $G$ ���Ф��ơ�$G$ �ξ�ι������� ${\operatorname{id}}:G\to G$ �� $G$ ���� $G$ �ؤν�Ʊ���Ǥ��롣�������ñ�ͤǤ��뤫�顢Ʊ���Ǥ��롣
2. $n$ �����������Ȥ��롣 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(k)=nk$$
   �ˤ������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���Ǥ��롣
3. $n$ �����������Ȥ��롣 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(k)=nk$$
   ������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣����� $n>1$ �ʤ�Ʊ���ǤϤʤ���
4. $n$ �����������Ȥ��롣 ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ ��
   $$f(k)=a^k$$
   ������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���ǤϤʤ���
5. $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ ���� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^\times,\times))$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(k)=2^k \qquad(k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$
   ���������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣�����Ʊ���ǤϤʤ���

�� 8.2   ����ʤ��Ʊ������

1. $n,m$ �����������Ȥ���$n$ �� $m$ ���ܿ��Ǥ���Ȥ��롣 $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ ���� $C_m=\langle b;b^m=e \rangle$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(a^k)=b^k$$
   ��������롣���ΤȤ���$f$ �Ͻ�Ʊ�������Ǥ��롣$n\neq m$ �ʤ�С�$f$ ��Ʊ���ǤϤʤ���
2. $G={\operatorname{GL}}(n;$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���顢 $H=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{\times}$ �ؤμ��� $f$ ��
   $$f(A)=\operatorname{det}(A)$$
   ���������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��롣����Ϲ��󼰤򰷤����δ��ܤˤʤ롣

�� 8.3 (��Ʊ���Ǥʤ���)  

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $n\mapsto n^2$ �Ͻ�Ʊ���ǤϤʤ���
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $n\mapsto n+1$ ���Ʊ���ǤϤʤ���

����ޤǡ����ˤϱ黻���Ȥ����ǡ����Τۤ��ˡ�ñ�̸����ո���¸�ߤ�����Ū�Ǥ��� �ȸ��äƤ����������Ͻ�Ʊ���Ǽ�ưŪ����¸����롣���������Ǥ��Τ��Ȥ򼨤�����

���� 8.1   $G,H$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G$ ���� $H$ �ؤν�Ʊ������ $f:G\to H$ ���Ф��ơ����λ��� ����Ω�ġ�

1. $f$ ��ñ�̸���ñ�̸��ˤ��Ĥ������ʤ����
   $$f(e_G)=e_H. \quad ($$$e_G,e_H$ �Ϥ��줾�� $G.H$ ��ñ�̸�$$)$$

2. $f$ �ϵո���ո��ˤ��Ĥ������ʤ����Ǥ�դ� $G$ �θ� $g$ ���Ф��ơ�
   $$f(g^{-1})=f(g)^{-1}$$
   ������Ω�ġ�
3. Ǥ�դ����� $n$ ��Ǥ�դ� $G$ �θ� $g$ ���Ф��ơ�
   $$f(g^n)=f(g)^n$$
   ������Ω�ġ�

$\bullet$ ��Ʊ���γ�

��� 8.2   $f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣$f$ �γ� (kernel) �Ȥϡ�$H$ ��ñ�̸� $e_H$ �� $f$ �ε����λ��Ǥ��롣���ʤ����

$$\operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\}$$

��Ʊ����Ĵ�٤衢�ȸ���줿��Ȥꤢ�������γˤ�Ĵ�٤롣�ˤϼ��Τ褦����������� ���ġ�

���� 8.2   $f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $f$ �γ� $\operatorname{Ker}(f)$ �� $G$ ��������ʬ���Ǥ��롣
2. $g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ��� $f(g_1)=f(g_2)$ �� �� �� $g_1 \equiv g_2 \ ({\operatorname{mod}}\operatorname{Ker}(f))$ �� �Ȥ�Ʊ�ͤǤ��롣

��������ϤȤƤ�����Ǥ���Τǡ����󤫤�����³���ͤ��뤳�Ȥˤʤ롣 (���ϤΤ�������Ϥ��λ����ǽ�Ʊ������(NO.1 ���󻲾�) �ξ����򴰷�Ǥ���Ȧ�Ǥ��롣��Ƥ�������������)

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

�� 8.2(1)�ˤ����ơ���$n$ �� $m$ ���ܿ��Ǥ���פȤ������� ������ $f$ �Ϸ��ν�Ʊ���ȸ����뤫��$n=2,m=3$ �ΤȤ�����ˤȤä� �����ʤ�����

(II).

�����η� $\Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$ ���� $C_n=\langle a; a^n=e \rangle$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(a^k b^l)= a^k \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

������ȡ������ (i)�����Ȥ��Ƥ��ޤ��������Ƥ��뤱��ɤ� (ii)���ν�Ʊ�������ǤϤʤ��Ȥ������򼨤��ʤ�����

(III).

�����η� $\Bbb D_n=\langle a,b; a^n=e, b^2=e, ab=ba^{-1} \rangle$ ���� $(\{\pm 1\}, \times)$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(a^k b^l)= (-1)^l \quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}},\ l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

������ȡ�����Ϸ��ν�Ʊ�������Ǥ�����򼨤��ʤ�����