1=5

����� C No.5����

��Ʊ�ʹط���

$\bullet$ ��Ʊ�ʹط��դȡԥ��饹ʬ���դȤϰ�Ĥθ��ݤ�΢��ɽ�Ȥ���į�᤿��ΤǤ��롣

������3.3������

����3.3(��Ͽ)

1. ���� $a^n=e,b^2=e,bab^{-1}=a^{-1}$ ������Ω�ġ�
2. $a^k b a^l= a^{k-l}b$ �����Ƥ����� $k,l$ �ˤĤ�������Ω�ġ�
3. $\mathbb{D}_n$ ���
   $$e,a,a^2,a^3,\dots,a^{n-1}, b,ab,a^2b,a^3b,\dots,a^{n-1}b$$
   �� $2n$ �Ĥ��롣�äˡ� $\mathbb{D}_n$ �ΰ̿��� $2n$ �Ǥ��롣

����: ������˳��ָ�����褦�ˡ����̤˷��θ���Ϳ����줿���ˤ��줬�������� ��ʬ�����ɤΤ褦�ʤ�Τ�����ꤹ��ΤϾ����ۤ�ñ��ǤϤʤ���

(���)      $G=\mathfrak{S}_4$ �Ȥ��� $\sigma=(1 2),\tau=(1 3)(2 4)$ �Ȥ����� ���ΤȤ�, $\sigma\tau\sigma (=(2 3)(1 4))$ �� $\sigma^k \tau^l$ �� $\tau^l\sigma^k$ $(k,l\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ �η��Ǥ�ɽ�����Ȥ��Ǥ��ʤ���

������2.5���

����2.5(��Ͽ)      ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ����ɬ��

$$n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad (=\text{$n$ ¤ÎÇÜ¿ô¤Î½¸¹ç}) \qquad (n=0,1,2,3,\dots)$$

�Τɤ줫�Ǥ��롣(������� $n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ����ʬ���ˤʤäƤ��롣)

��� 5.1 (Ʊ�ʹط������)   ���� $X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $X$ �˼��Τ褦�ʾ��������������ط��� ��$\sim$ �� ����ޤäƤ���Ȥ�����$\sim$ �� �Τ��Ȥ�Ʊ�ʹط��ȸ�����

1. Ǥ�դ� $a,b\in X$ ���Ф��ơ�$a\sim b$ ���������Ǥʤ������Ϥä���ȷ�ޤäƤ��롣
2. $a,b,c\in X$ ���� $a \sim b , b\sim c$ ���������С� $a \sim c$ ������Ω�äƤ��롣
3. Ǥ�դ� $a\in X$ ���Ф��ơ�$a\sim a$ ������Ω�äƤ��롣
4. $a,b\in X$ ����$a\sim b$ ���������С�$b\sim a$ ������Ω�äƤ��롣

�� 5.1   �Ĥ�����Ϥ��줾�� $X$ ���Ʊ�ʹط��Ǥ��롣

1. $X=\{$ʿ�̾�λ��ѷ�$\}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a$ �� $b$ �Ȥ���Ʊ��
2. $X=\{$ʿ�̾�λ��ѷ�$\}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a$ �� $b$ �Ȥ������
3. $X=\{$���ܿ�$\}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a$ �� $b$ �Ȥ�̾����Ʊ����
4. $X=\{$��������$\}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a$ �� $b$ �ȤϽ�°����زʤ�Ʊ����
5. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a-b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ .

�� 5.2   ������� $X$ ���Ʊ�ʹط��ǤϤʤ���

1. $X=\{$���ܿ�$\}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a$ �� $b$ �Ȥ�ͧã�Ǥ��롣
2. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a\leq b$ .

�����Ʊ�ʹط��������Ȥ������Ȥϡ�����Υ��饹ʬ���򤹤����Ʊ�����Ȥˤʤ롣���饹ʬ�������Τ�����ϡ����Τ褦�ˤʤ롣

��� 5.2   ���� $X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣 $X$ �Υ��饹ʬ����Ϳ�����Ƥ��롢�Ȥ����Τϡ� ���Τ褦�ʾ��������� $X$ ����ʬ�����² $\{X_{\lambda}\}_{\lambda\in \Lambda}$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��˸�����

1. $\{X_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ ���ߤ��˸���ʤ��� ���ʤ���� $\lambda_1,\lambda_2$ ���ۤʤ� $\Lambda$ �θ��ʤ�С�
   $$X_{\lambda_1} \cap X_{\lambda_2}=\emptyset$$
   ���ʤꤿ�ġ�
2. $\{X_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ �� $X$ ���Τ�ʤ���Ĥ��������ʤ����
   $$\bigcup_{\lambda\in \Lambda} X_{\lambda}=X$$
   ���ʤꤿ�ġ�(�� $X_\lambda$ �Τ��Ȥ�֥��饹�פȤ�����פȤ��Ƥ֡�

���� 5.1   ���� $X$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣���ΤȤ���

1. $X$ ���Ʊ�ʹط� $\sim$ ��Ϳ������ȡ� $X$ �Υ��饹ʬ���������Τ褦�ˤ�����ޤ롣

   $$a \sim b {\Leftrightarrow} a b .$$ (��)

   
   
   $a$ ��Ʊ�ͤʤ�Τ����Τ���ʤ� $X$ ����ʬ����� $C(a)$ �Ƚ񤯤ȡ�$X$ �Υ��饹ʬ���ϡ� $\{C(a)\}_{a\in X}$ ����Ʊ����Τ�ʤ�����ΤǤ��롣

2. �դˡ�$X$ ��Υ��饹ʬ����Ϳ�����Ƥ���Ȥ���$($ ��$)$ �ˤ�ä� $X$ ���Ʊ�ʹط�����ޤ롣

��� 5.3   ���� $X$ ���Ʊ�ʹط� $\sim$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��롣$X$ �Υ��饹�ΰ�İ�Ĥò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½Ä¤Î¸ï¿½ï¿½È¤ß¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½$X$ �� $\sim$ �ˤ�뾦����ȸ�����$X/\sim$ ��ɽ����

�� 5.3  

1. �������� $n$ ���ĸ��ꤷ�� $X={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a-b \in n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �����롣 ���ξ�硢$X/\sim$ ��������⤷�� ``��ĥ�����ֹ��Ĥ���줿ĺ���ν���" ��Ʊ��뤵��롣

2. $X=$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$ , $a \sim b {\Leftrightarrow}$ $a-b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ . ���ξ�硢$X/\sim$ �ϱ߼���Ʊ��뤵��롣

��ݡ�������

(I) ��������˸�����ñ�ʽ��� $X$ �Ȥ��ξ��Ʊ�ʹط� $\sim$ ����򤢤���������ˤ����� $X/\sim$ ���ɤΤ褦�ʤ�ΤǤ��뤫 �Ҥ٤衣 (��������λ����ˤ�äƤ�Ʊ�ʹط��ȸƤ٤뤫�ɤ��� ��������Τ⤢�롣���Τ褦�ʤ�ΤˤĤ��Ƥϡ��ɤ����������� �ɤΤ褦�ˤ���в������뤫��Ҥ٤뤳�ȡ�)

(II) (���)�ξ�����Ĥ��衣

(III) (���)�ˤ����ơ� $\sigma,\tau$ ����������� $G$ ����ʬ������衣