����� C(����) No.1����

��ش�����ɸ

���� 1.1 (���ν�Ʊ������)   �� $G$ �����̤η� $H$ �ؤν�Ʊ������ $\phi:G\to H$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣 ���ΤȤ�����������Ω�ġ�

1. $\phi$ ���� $\operatorname{Image}\phi$ �� $H$ ����ʬ���Ǥ��롣
2. $\phi$ �γ� $N=\operatorname{Ker}\phi$ �� $G$ ����ʬ���Ǥ��롣
3. ��;�� $G/N$ �� $\operatorname{Image}\phi$ ��Ʊ���Ǥ��롣

������������򤹤롣

���Ȥϡ��ݤ���(�ޤ���­����)�ΤǤ��뽸��Τ��ȤǤ��롣 ���������ݤ����ˤϡ��֤����Ȥ��������פ��ʤ��Ȥ����ʤ���

���δ�����������β�ˡ�� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ �� ͭ�����ξ�ˡ�� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus\{0\},\times)$ �Ǥ��롣 �ɤ����黻(��ĤΤ�Τ����ĤΤ�Τ�׻����뵬§)���������Ƥ��ơ� ���α黻�����ˡ§�����������Ȥ����Ȥ����ˤޤ����ܤ���ĺ��������

��� 1.1 (�������)  

���� $G$ �����Ǥ���Ȥϡ�

(0)�ֱ黻�פȸƤФ����� $m:G\times G\to G$ ���������Ƥ��ơ�

���ξ����������Ȥ��˸�����

1. ���α黻�Ϸ��ˡ§����������
   $$m(m(x,y),z)=m(x,m(y,z)) \quad (\forall x,y,z \in G)$$

2. $G$ �ˤ�ñ�̸�(���� $e$ �Ƚ񤫤��)��¸�ߤ��롣���ʤ���� ���� $G$ �θ� $e$ �����äơ�
   $$m(e,x)=x, \quad m(x,e)=x \quad (\forall x \in G)$$
   ���ʤ�Ω�ġ�
3. $G$ �γƸ��ˤϵո������롣���ʤ����$G$ ��Ǥ�դθ� $x$ ���Ф��ơ� $G$ �Τ��븵 $y$ ��¸�ߤ��ơ�
   $$m(x,y)=e, \quad m(y,x)=e$$
   ���ʤꤿ�ġ�

���� 1.1   ��������ˤ����ơ����� $G$ ���᤿�����ǤϤɤ�ʱ黻��ͤ��Ƥ���Τ� ���ΤǤʤ��Τǡ����Τˤϡ��� $(G,m)$ �ò·²¤È¸Æ¤Ö¡ï¿½

�� 1.1   ���� $(G,m)$ �Ϥ��줾�췲�Ǥ��롣

1. $G={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ , $m(x,y)=x+y$ . (���η��Τ��Ȥ�(��ˡ)�� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},+)$ �ȸƤ֡�)
2. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$\setminus \{0\}$ , $m(x,y)=xy$ . ((��ˡ)�� $($$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$^{\times} ,\times)$ �ȸƤ֡�)
3. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $m(x,y)=xy$ .

�� 1.2   ���� $(G,m)$ �Ϥ��줾�췲�Ǥʤ���

1. $G=\mathbb{N}$ , $m(x,y)=x+y$ .
2. $G=$$\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ , $m(x,y)=xy$ .
3. $G={\operatorname{GL}}_n($$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ , $m(x,y)=x+y$ .

$\bullet$ ���������͡�ñ�͡���ñ�ͤ�����

���� $f:X\to Y$ ����

1. ���ͤǤ���Ȥϡ��ɤ�� $Y$ �θ� $y$ ���äƤ��Ƥ⡢$f(x)=y$ �β� $x\in X$ ��¸�ߤ���Ȥ��˸���
2. ñ�ͤǤ���Ȥϡ�$x_1,x_2$ �� $X$ �ΰۤʤ���Ĥθ��ΤȤ��ˤϡ����ĤǤ� $f(x_1)\neq f(x_2)$ ���ʤ�Ω�ĤȤ��˸�����
3. ��ñ�ͤǤ���Ȥ����Τϡ����ͤǤ���ñ�ͤΤȤ��˸�����

�����Τ��Ȥ��ä��Ȥ��ˤϻϽ��� $X$ �������� $Y$ �� ���Τˤ��Ƥ������Ȥ�����Ǥ��롣

�� 1.3   �� $x$ ���Ф��Ƥ������ $x^2$ ������������ $f$ ��ͤ��롣 �Ͻ��硢������ò¤¤¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤ï¿½ï¿½Æ¤ß¤ë¤³ï¿½È¤ï¿½Í¤ï¿½ï¿½Æ¤ß¤è¤¦ï¿½ï¿½

1. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ���ͤǤ�ñ�ͤǤ�ʤ���
2. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ñ�ͤǤ��뤬���ͤǤʤ���
3. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{\geq 0}$ ���ͤǤ��뤬ñ�ͤǤʤ���
4. $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}$ ��ñ�ͤǤ��롣

$\bullet$ �ǥ�����ѽ��������

���� $A,B$ �Υǥ�����ѽ��� $A\times B$ �Ȥϡ� $A$ �θ��� $B$ �θ��Ȥ������ΤΤʤ�����Ǥ��롣���ʤ����

$$A\times B=\{(a,b);a\in A,\quad b\in B\}$$

�㤨�С�

$$\{0,1,2\} \times \{a,b\} = \{ (0,a),(0,b), (1,a),(1,b), (2,a),(2,b) \}$$

$$\{0,1\} \times \{0,1\} = \{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$$

����ݡ�������

�����椫����������ǡ���ݡ��ȤȤ�����Ф��ʤ�����

(���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).

Ŭ���ʿ��ν�����Ѥ��Ʒ�����ȷ��Ǥʤ���(�黻��������줿����������ˤϤʤ�ʤ���)���Ĥ��ĵ󤲤ʤ�����(���ꥸ�ʥ�Ǥ��뤳��)

(II).

${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˡ��黻 $m$ ��

$$m(x,y)=x+y+3$$

��������롣���ΤȤ��� $({\mbox{${\mathbb{Z}}$}},m)$ �Ϸ��Ǥ��뤫����ͳ��Ĥ��������ʤ�����

�� http://www.math.kochi-u.ac.jp/docky/kogi �˹ֵ�������(���Υץ���) ���󶡤���.