����� C(����) �齬���� No.12

��� 12.1   ��Ĥη� $G,K$ ��ľ�ѤȤϡ�ľ�ѽ��� $G\times K$ ($G$ ��� $K$ �θ��Υڥ� $(g,k)$ ���ΤΤʤ�����)�ˡ���ˡ��

$$(g_1,k_1)\cdot (g_2,k_2)=(g_1 g_2,k_1 k_2)$$

�����������ΤǤ���

���� 12.1   ����ľ�� $G\times K$ �Ͼ�ξ�ˡ�ˤ�äƷ��ˤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 12.2 (0.5��)   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ˤĤ��ƹͤ��Ƥߤޤ��礦�� ����ϡ�����ǻ��ѷ�������ǻͳѷ���� (�����Ȥ�դ�)����ȴ�Ϣ�դ��뤳�Ȥ��Ǥ��ޤ���

$$([1]_3,[0]_4)\leftrightarrow$$

$$([0]_3,[1]_4)\leftrightarrow$$

���ơ� $([1]_3,[1]_4)$ �ΰ̿��� $12$ �Ǥ��뤳�Ȥ�ºݤˤ�äƤߤʤ�����

���� 12.3   ���� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to ({\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ ��

$$n\to ([n]_3,[n]_4)$$

��������ޤ������λ���

1. $f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f$ �γˤ� $12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Ȥθ��θĿ�����Ӥ��ơ�ξ�Ԥ�Ʊ���Ǥ� �뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 12.4   $m,n$ ��ߤ����Ǥ����������Ȥ���Ȥ���Ʊ�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ� �����Ʊ�ͤ���ˡ���Ѥ��ƾ������ʤ�����

���� 12.5   ������Ѥ��ơ�$m,n$ ��ߤ����Ǥ����������Ȥ���Ȥ��� ���� $am+bn=1$ ������������ $a,b$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 12.6  

1. ���� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\... ...5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $f(n)=([n]_3,[n_5],[n]_7)$ ���������ȡ�����Ͻ�Ʊ������ �ˤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ��� $f$ ���Ѥ��ơ�Ʊ��
   $${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/105{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong {\mbox{${... ...{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/7{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$$
   ��¸�ߤ򼨤��ʤ�����

���� 12.7   ��Ʊ�� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^{\times} \to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times$ ��

$$f(x)=x^2$$

����������Ȥ������γ��䤤�������ʤ�����

1. $f$ ��������ʤ�����
2. $f$ �γˤ���ʤ�����
3. Ʊ�� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times/\{\pm 1\} \cong$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0}=\{r\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; r>0\}$ ��¸�ߤò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 12.8   ���� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$_{>0} \times$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$/{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mathbb{C}}^\times$ ��

$$f(r,\bar{u})= r(\cos(2\pi u)+\sqrt{-1}\sin(2\pi u))$$

�ˤ������ȡ�����Ϥ��ޤ�����Ǥ��Ƥ��ơ���Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ����ˡ����ν�Ʊ���ϼ¤�Ʊ���Ǥ���(�Ĥޤ���ñ�ͤǤ���)���Ȥ򼨤��ʤ� ����

���� 12.9   ���� $f:\frak S_k\times \frak S_l \to \frak S_{k+l}$ ��

$$[f(\sigma,\tau)] (1,2,3,\dots,k,k+1,k+2,\dots,k+l)$$

$$= (\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3),\dots,\sigma(k), k+\tau(1),k+\tau(2),\dots,k+\tau(l))$$

�ˤ���������ϡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ���ˡ�$f$ ��ñ�ͤǤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 12.10   �� $G$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ޤ���$G$ ��������ʬ�� $H,K$ ��������Ĥ��������������Ȥ���$G$ �� $H\times K$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½ï¿½ ������

1. $H\cap K=\{e\}.$
2. $G$ �� $H\cup K$ ����������롣

����ˡ����ΤȤ� $G/H \cong K$ �Ǥ��뤳�Ȥ⼨���ʤ�����

���� 12.11   �ߤ����Ǥ����� $m,n$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ޤ�������ˡ�$a,b$ ��

$$am+bn=1$$

�������������Ȥ��ޤ������ΤȤ���Ʊ��

$$f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{$... ...box{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\quad (f([x]_{mn})=([x]_m,[x]_n))$$

�εռ�����$a,b$ ���Ѥ��Ƥ���路�ʤ�����( $f^{-1}([s]_m,[t]_n)$ �� $a,b,s,t,m,n$ �μ��Ǥ���路�ʤ�����)

���� 12.12   $G_1, G_2$ �Ϥ��줾�층����İʾ���ķ��Ȥ��ޤ������ΤȤ��� $G_1\times G_2$ �ˤ�(�����ʤ�Τ�ޤ��)���ʤ��Ȥ� $4$ �Ĥ�������ʬ�������뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½