����� C(����) �齬���� No.11

����ϡ���ش�����ɸ�Ǥ���Է��ν�Ʊ�������դˤĤ��� ���ꤷ�ޤ���

���� 11.1   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f([n]_9)=[n]_3$$

�����ޤ������ΤȤ���

1. $f$ �����ͽ�Ʊ�������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f$ �ˤ�ä� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �γƸ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Τɤθ��ˤ��Ĥ뤫�� �б�ɽ��񤭾夲�뤳�Ȥˤ�äƼ����ʤ�����
3. $f$ �ˤ�ä�Ʊ�����Ʊ�Τ�Ʊ�����饹�ˤ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �򥯥饹ʬ������ ���饹ʬ����ɽ��񤭤ʤ�����
4. $\operatorname{Ker}f$ ����ʤ���
5. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/9{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\operatorname{Ker}f$ ��ˡ�Ȥ��ƥ��饹ʬ�����ʤ�����

���� 11.2   ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f([n]_8)=[3n]_6$$

�����ޤ������ΤȤ���

1. $f$ �Ͻ�Ʊ�������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $f$ ��������ʤ�����
3. $f$ �ˤ�ä� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �γƸ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/6{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �Τɤθ��ˤ��Ĥ뤫�� �б�ɽ��񤭾夲�뤳�Ȥˤ�äƼ����ʤ�����
4. $f$ �ˤ�ä�Ʊ�����Ʊ�Τ�Ʊ�����饹�ˤ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �򥯥饹ʬ���� ���饹ʬ����ɽ��񤭤ʤ�����
5. $f$ �γˤ���ʤ���
6. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/8{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $\operatorname{Ker}f$ ��ˡ�Ȥ��ƥ��饹ʬ�����ʤ�����

���� 11.3   ͭ�·� $G$ ����Ĥθ� $g$ ����������Ƥ���Ȥ��� $G$ ��ͭ�½�󷲤�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 11.4   ̵�·� $G$ ����Ĥθ� $g$ ����������Ƥ���Ȥ���$G$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�� �ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 11.5  

1. $20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��������ʬ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ���� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $f(x)=[x]_5$ ���������ȡ� $f$ �Ͻ�Ʊ�������ˤʤ뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. ��� $f$ �γˤ��ᡢ $4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/20{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/5{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����

���� 11.6   $m,n$ �Ϥ��줾�����������Ǥ���Ȥ��ޤ��� ����� $m{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/mn{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 11.7   ʣ�ǿ� $z$ ���Ф��ơ����ζ���� $\bar {z}$ �Ǥ���路�ޤ������ΤȤ���

1. ${\mathbb{C}}\ni z\mapsto \bar{z} \in {\mathbb{C}}$ ��ʣ�ǿ����ΤΤʤ���ˡ�� $({\mathbb{C}},+)$ ���餽�� ���Ȥؤ�Ʊ��������Ϳ���뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ${\mathbb{C}}^{\times}\ni z\mapsto \bar{z} \in {\mathbb{C}}^{\times}$ ��ʣ�ǿ����Τ��� 0 �� ��������ΤΤʤ���ˡ�� $({\mathbb{C}}^{\times},\times)$ ���餽�켫�Ȥؤ�Ʊ��������Ϳ���뤳 �Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 11.8   ʣ�ǿ�����ʬ�˻��Ĺ��� $A=(a_{ij})$ ���Ф��ơ����ο�ȼ���� $A^*$ ��

$$A^*=(\bar{a_{ji}})$$

��������ޤ���(���ʤ����$A^*$ �ϡ�$A$ ��ž�ֹ��� ${}^{\text{t}}A$ �γƹ�����ʬ �ˤĤ��Ƥ��Τ��Τ�ʣ�Ƕ����Ȥä���ΤǤ���) �㤨�С�

$$\begin{pmatrix} 1 &4+5i \\ 2+3i &6+7i \end{pmatrix}^*= \begin{pmatrix} 1 & 2-3i \\ 4-5i &6-7i \end{pmatrix}$$

�ȸ������Ǥ������λ���

1. ʣ�ǿ�����ʬ�˻��� $n$ -���������� (=$n\times n$ -����)���Τ� $M_n({\mathbb{C}})$ �Ƚ� ���С� $M_n({\mathbb{C}}) \ni A\mapsto A^*\in M_n({\mathbb{C}})$ �Ϲ���β�ˡ�� $(M_n({\mathbb{C}}),+)$ ���餽�켫�� �ؤ�Ʊ�������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. ʣ�ǿ�����ʬ�˻��IJĵ� $n$ -���������� (=$n\times n$ -����)���Τ� ${\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}})$ �Ƚ񤱤С� ${\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}}) \ni A\mapsto (A^*)^{-1}\in {\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}})$ �ϲĵչ������ΤΤʤ���ˡ�� $({\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}}),\times)$ (�����������ȸƤФ��)���餽�켫�Τؤ�Ʊ�������Ǥ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����

���� 11.9   ʣ�ǿ�����ʬ�˻����������� $A$ ����˥������Ǥ���Ȥϡ� $A^*A=I$    (ñ�̹� ��) ������Ω�Ļ��˸����ޤ������ơ���˥���������� $\operatorname{U}(n)$ �Ͼ�ˡ�˴ؤ��Ʒ��� �ʤ����Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½( $\operatorname{U}(n)$ �ϥ�˥��귲�ȸƤФ�ޤ���)

���� 11.10  

1. ����
   $$\operatorname{det}: {\operatorname{GL}}_n({\mathbb{C}}) \ni A\mapsto \operatorname{det}(A) \in {\mathbb{C}}^{\times}$$
   �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
2. $\operatorname{det}(A^*)=\overline{\operatorname{det}(A)}$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����
3. $A$ ����˥������ʤ顢 $\vert\operatorname{det}(A)\vert=1$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 11.11   $f,g$ �ϤȤ�˷� $G$ ���� �� $H$ �ؤν�Ʊ���Ǥ���Ȥ��ޤ��� ���ΤȤ���

$$K=\{x\in G; f(x)=g(x)\}$$

�� $G$ ����ʬ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����$K$ �� $G$ ��������ʬ���Ȥ� �¤�ʤ����Ȥ򡢼����󤲤Ƽ����ʤ�����

���� 11.12   Ʊ��

   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$/{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\cong \left\{ \begin{pmatrix} \cos(\thet... ...hantom{-}\cos(\theta) \end{pmatrix}; \theta \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

��¸�ߤ򼨤��ʤ�����

���� 11.13   $f:G\to G'$ �����Τ������ν�Ʊ���ǡ� $G$ ��������ʬ�� $N$ ���� $f(N)=\{e'\}$ ($e'$ �� $G'$ ��ñ�̸�) ���������ʤ�С� ��Ʊ�� $g:G/N\to G'$ ��¸�ߤ��ơ�$f=g\iota$ �����������Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ �������������ǡ� $\iota:G\to G/N$ �ϼ����ʽ�Ʊ���Τ��ȤȤ��ޤ���

���� 11.14   $T=\{z\in {\mathbb{C}}; \vert z\vert=1\}$ �� ${\mathbb{C}}^\times$ ��������ʬ���Ȥʤꡢ��;�� ${\mathbb{C}}/T$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^\times$ ��Ʊ���Ǥ���Ȥ������Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½