����� C �齬���� No.10

����ϡ���ش�����ɸ�Ǥ���Է��ν�Ʊ�������դˤĤ��� ���ꤹ�뤳�Ȥˤʤ�ޤ�������Ϥ������ʳ��Ȥ��ơ� �Է��ν�Ʊ�������դθ��ˤʤ륢���ǥ����ˤĤ��ƽ��ꤷ�ޤ��� ���������Ǥϡ��ַ��פϽФ���ޤ��󡣽���ȼ����� ������Ȥ������Ǥ�������6.12�����ܤˤʤ�ޤ���

����򥯥饹ʬ��������ˤϡֽ���ν���פ�����뤳�Ȥˤʤ�ޤ��� ��������Ǥޤ��Խ���դ�ª�������ǧ���Ƥ��������� �Ȥ��ˡ����� $\{\}$ �λȤ����򤪤������ˤ��ʤ��褦�ˤ���ĺ��������

���� 10.1   ����� $A,B,C,D,E$ �����ǤθĿ��ò¤½¤ì¤¾ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $A=\{\{1,2,3\}\}$
2. $B=\{\{1,2\},\{3\}\}$
3. $C=\{\{1,2\},\{3,\{4,5\}\}\}$
4. $D=\{ 1,1\}$
5. $E=\{\{$$x$; $x&isin#in;$Z$$ ; $x-r$ �� $4$ �dz���ڤ�롣$\}; r\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$

���� 10.2   $H=($�Ҥ餬�ʤ�����$)=\{$��,��,��.$...$,��,��,��,��$\}$ , $A=($�Ѹ�Υ���ե��٥åȤ���ʸ������$)=\{A,B,C,\dots,Z\}$ �Ȥ����ޤ��� ���ΤȤ��� �����䤤�������ʤ�����

1. $f:H\to A$ �� $f(x)=($x������޻��ǽ񤤤����ν����ʸ��$)$ �� ������ޤ���$f$ ��������ʤ�����
2. ��� $f$ �ˤ�äơ�$H$ ��˴ط� $\equiv$ ��
   $$h_1 \equiv h_2 \ {\Leftrightarrow}\ f(h_1)=f(h_2)$$
   ������ȡ������Ʊ�ʹط��ˤʤ�ޤ��� ����Ʊ�ʹط��ǡ֤��פ�Ʊ�ͤˤʤ��Τ����������ʤ�����
3. ���Ʊ�ʹط��ϡ��ָ޽���ɽ�פȸ������դ�Ȥ��ȤɤΤ褦�� ɽ���Ǥ��뤫�������ʤ�����
4. $H/\equiv$ �θ��θĿ�����ʤ�����
5. $g:H\to A$ �� $f(x)=($$x$ ������޻��ǽ񤤤����λϤ��ʸ��$)$ �� ������褦�Ȥ��������������󤲤ʤ�����

���� 10.3   $C_n=\langle a; a^n=e\rangle$ �ò¡¢°Ì¿ï¿½ $n$ ��ͭ�½�� �Ȥ��ޤ��� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to C_n$ ��

$$f(k)=a^k$$

�Ȥ����Ȥ��������䤤�������ʤ�����

1. $f$ �ˤ�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��˴ط� $\equiv$ ��
   $$n_1 \equiv n_2 \ {\Leftrightarrow}\ f(n_1)=f(n_2)$$
   ������ȡ������Ʊ�ʹط��ˤʤ�ޤ��� ����Ʊ�ʹط��ˤ�ä� $1$ ��Ʊ�ͤʤ�Τ����Ƶ󤲤ʤ����� (�����������פ���ɬ�פ�̵����)
2. ���Ʊ�ʹط��ˤ�ä� 0 ��Ʊ�ͤʤ�Τ����Ƶ󤲤ʤ�����
3. 1. �˵󤲤���Τ� 2. �˵󤲤���ΤȤδ֤δط���Ҥ٤ʤ�����
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ �θ��θĿ�����ʤ�����

���� 10.4   $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to \frak S_4$ ��,

$$f(k)=(1\ 2\ 3\ 4)^k\quad (k \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

��������ޤ������ΤȤ���

1. $f(0),f(-1),f(-2)$ ����ʤ�����
2. $f$ �������ᡢ���θ��θĿ�������ʤ�����
3. $f$ �ˤ�� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �˴ط� $\equiv$ ��
   $$a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$$
   �ˤ������ȡ����δط���Ʊ�ʹط��ˤʤ�ޤ����� ����Ʊ�ʹط��ˤ�� $1$ ��Ʊ�ͤʤ�Τ����Ƶ󤲤ʤ�����
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ �θ��θĿ�����ʤ�����
5. ����˸��줿Ʊ�ʹط��������Ʊ�ʹط��Ȥδط���Ҥ٤ʤ�����

���� 10.5   $C_{10}=\langle g; g^{10}=e \rangle ,C_4=\langle h; h^4=e \rangle$ �Ȥ����� $f:C_{10}\to C_4$ �� $f(g^k)=h^{2k} (k\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$ ��������ޤ��� ���ʤ����

$$f(g)=h^2 ,f(g^2)=h^4 (=e) ,f(g^3)=h^6 (=h^2),\dots.$$

($f$ �Ϥ��ޤ��������Ƥ��ޤ��� ���ʤ������$g^k=g^l$ �ʤ� $h^{2k}=h^{2l}$ �� ������Ω���ޤ��� �ʤ��Ǥ�����) ����ˡ�$C_{10}$ �˴ط� $\equiv$ �� $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ ��������ޤ�(�����Ʊ�ʹط��ˤʤ�ޤ�)�� ���ΤȤ� $C_{10}$ �� $\equiv$ �ˤ�� �ɤΤ褦�˥��饹ʬ������뤫�򥯥饹ʬ����ɽ��Ĥ��äƼ����� $C_{10}/\equiv$ �θ��θĿ�����ʤ���������ˡ�$f$ ��������ʤ�����

���� 10.6   ���� $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^2$ �� $f(x)=(\cos(x),\sin(x))$ ��������ޤ������ΤȤ��� �����䤤�������ʤ�����

1. $f$ �Υ���դγ�����񤭤ʤ�����(������ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$^3$ ����ζ����ˤʤ�Ϥ��Ǥ���)
2. $f$ ��������ʤ�����
3. $f$ �ˤ�ꡢ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �˴ط� $\equiv$ �� $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ ���������ȡ������Ʊ�ʹط��ˤʤ�ޤ��� ����Ʊ�ʹط��ˤĤ��ơ���Ĥ�����Ʊ�ͤ��������Υ���դǤɤΤ褦�ʰ��֤� ���뤫�������ʤ�����

���� 10.7   ���� $f:{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\to \mbox{${\mathbb{R}}$}^2$ �� $f(x)=(\cos(\frac{\pi x}{5}),\sin(\frac{\pi x}{5}))$ ��������ޤ������ΤȤ��� �����䤤�������ʤ�����

1. $f$ �Υ���դγ�����񤭤ʤ�����
2. $f$ ��������ʤ�����
3. $f$ �ˤ�ꡢ $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��Ʊ�ʹط��� $a\equiv b \ {\Leftrightarrow}\ f(a)=f(b)$ ��������ޤ������ΤȤ�����Ĥ�����Ʊ�ͤ��������Υ���դǤɤΤ褦�ʰ��֤� ���뤫�������ʤ�����
4. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/\equiv$ �θ��θĿ�����ʤ�����