����� C(����) �齬���� No.9

����Ĥη�����٤�ˤϡ���Ʊ����Ĵ�٤�Τ����ܤǤ��롣��

��Ʊ���Ȥϡ��黻���ݤļ����λ��Ǥ��롣

��� 9.1   $G,H$ �ò·²¤È¤ï¿½ï¿½ë¡£$G$ ���� $H$ �ؤμ��� $f:G\to H$ ����Ʊ�������Τˤϡ����Ȥ��� �ν�Ʊ������)�Ǥ���Ȥϡ� Ǥ�դ� $g_1,g_2\in G$ ���Ф��ơ�

$$f(g_1 g_2)=f(g_1)f(g_2)$$

������Ω�ĤȤ��˸����� ��Ʊ�� $f$ ����ñ�ͤǤ⤢�����$f$ ��Ʊ���Ǥ���ȸ�����

���� 9.1   $n$ �����������Ȥ��ޤ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(k)=nk$$

������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ����ˡ������ $n>1$ �ʤ�Ʊ���ǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�������

���� 9.2   $a,b,n$ �����������Ȥ��ޤ��� $a{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $b{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(k)=nk$$

������Ȥ���$f$ ����Ʊ���ˤʤ�Τ� $a,b,n$ �δ֤ˤɤΤ褦�ʴط��� �ʤꤿ�ĤȤ����������ʤ�����

���� 9.3   ������ĤΤ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $n\mapsto n^2$ �Ͻ�Ʊ���ǤϤʤ���
2. ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �ؤμ��� $n\mapsto n+1$ ���Ʊ���ǤϤʤ���

��� 9.2   �ʲ��Ǥϡ��ԥ����ͥ�η���

$$C_n=\langle g; g^n=e \rangle =\{e, g^{\pm 1},g^{\pm 2},g^{\pm 3},\dots \ ($$ ���$g^n=e$)$$) \}$$

�����ˤ˻Ȥ��ޤ������μ��ϡ�$C_n$ �ϰ�Ĥθ� $g$ ���������줿���ǡ� $g$ �� $g^n=e$ ����ܴط����Ȥ��ƻ��ġפȸ�����̣�Ǥ��� $g$ �ϡ֥����ͥ�򺸤˰������Ҥͤ�פȸ������ˤ�����ޤ��� (����ե��٥åȤ� ��$g$ �פˤϤȤ��˰�̣������ޤ��󡣾��ˤ�äƤ� $h$ ���Ȥ���¾�ε����Ȥ����Ȥ⤢��ޤ��� ) $C_n$ �Τ��Ȥ򡢿��ؤǤϡ��ְ̿� $n$ �ν�󷲡פȸ����ޤ���

���� 9.4 (0.5��)   $C_n$ �ΰ̿�����ʤ�����

���� 9.5   $n$ �����������Ȥ��ޤ��� ${\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���� $C_n=\langle g; g^n=e \rangle$ �ؤμ�����

$$f(k)=g^k$$

������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򤷤ᤷ�ʤ����� ����ˡ������Ʊ���ǤϤʤ����Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 9.6  

1. $C_6=\langle g; g^6=e \rangle$ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
2. $C_4=\langle h; h^4=e \rangle$ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
3. $f:C_6 \to C_4$ �� $f(g^p)=h^{2p}$ ��������ޤ��� ���ΤȤ���$C_6$ �γƸ��� $C_4$ �Τɤθ����б����뤫�� ��ǽ񤭽Ф������δ֤�����Ƿ�֤��Ȥˤ�äƼ����ʤ�����

���� 9.7  

1. $C_5=\langle g; g^5=e \rangle$ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
2. $C_4=\langle h; h^4=e \rangle$ �θ������ƽ񤭽Ф��ʤ�����
3. $f:C_5 \to C_4$ �� $f(g^p)=h^{2p} \ \underline{( p \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})}$ ��������褦�Ȥ��Ƥ⡢ ���ޤ������ʤ��� ���Τ��Ȥ�$C_5$ �γƸ��� $C_4$ �Τɤθ����б����뤫�� ��ǽ񤭽Ф������δ֤�����Ƿ�ܤ��Ȥ��뤳�Ȥˤ�äƼ����ʤ����� ($g^0=g^5$ �������ա�)

���� 9.8   $m,n$ �����������Ȥ��ޤ��� $C_m=\langle g; g^m=e \rangle =$ ���� $C_n=\langle h; h^n=e \rangle$ �ؤμ�����

$$f(g^p)=h^{p} \quad (p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

�����褦�Ȥ��ޤ������ΤȤ���$f$ ����Ʊ���ˤʤ�ΤϤ��Ĥ��� �����ʤ�����

���� 9.9   $a,m,n$ �����������Ȥ��ޤ��� $C_m=\langle g; g^m=e \rangle =$ ���� $C_n=\langle h; h^n=e \rangle$ �ؤμ�����

$$f(g^p)=h^{ap} \quad (p\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}})$$

�����褦�Ȥ��ޤ������ΤȤ���$f$ ����Ʊ���ˤʤ�ΤϤ��Ĥ��� �����ʤ�����

���� 9.10   $G={\operatorname{GL}}(n;$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ���顢 $H={\operatorname{GL}}_2(R)$ �ؤμ��� $f$ ��

$$f(A)= \begin{pmatrix} \operatorname{det}(A) & 0 \\ 0 & \operatorname{det}(A)^{-1} \end{pmatrix}$$

���������ȡ�$f$ �Ͻ�Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ򤷤ᤷ�ʤ�����

��� 9.3   $f:G\to H$ ����Ĥη��δ֤ν�Ʊ���Ȥ��롣$f$ �γ� (kernel) �Ȥϡ�$H$ ��ñ�̸� $e_H$ �� $f$ �ε����λ��Ǥ��롣���ʤ����

$$\operatorname{Ker}(f)=f^{-1}(e_H)=\{g\in G; f(g)=e_H\}$$

���� 9.11   ���� 9.5 ��� $f$ �γˤ���ʤ�����

���� 9.12   ���� 9.6 ��� $f$ �γˤ���ʤ�����

���� 9.13   ����Ʊ�� $f:G\to H$ �γˤϰ��̤ˡ�$G$ ��������ʬ���Ǥ��뤳�Ȥ� �����ʤ�����

���� 9.14   $f:$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$\to {\mathbb{C}}^\times$ �� $f(x)=\cos(x)+\sqrt{-1}\sin(x)$ ���������ȡ� $f$ �Ϸ��ν�Ʊ���ˤʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ë¡ï¿½$f$ �γˤ���ʤ����� �������� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ �ϼ¿����Τν����­�����DZ黻���᤿���� ${\mathbb{C}}^\times$ �� 0 �������ʣ�ǿ��ˤ������DZ黻���᤿���Ǥ��롣

���� 9.15   ${\mathbb{C}}^\times \to {\mathbb{C}}^\times :z\mapsto z^5$ �Ϸ���Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½ï¿½ ���γˤò¸µ¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Æ½ï¿½É½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤Ë¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

$$?(\cos (??)+\sqrt{-1}\sin(??))$$

(�˺�ɸɽ��)�η���ɽ�����뤳�ȡ�