1=4     

����� C(����) �齬���� No.4

��ñ��������ˡ��ִ�������ޤ������֤������פ�ȸ�����̣�����Τˤ��뤿��ˡ�������ǧ���Ƥ����ޤ��礦�����Ȥ��С���

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

�ϡ�$1,2,3,4$ ��ʤ�Ӥ����� $3,1,2,4$ �ˤ���ȸ�����̣�Ǥ����������Ф��Ƥ����ȸ�Ǻ��𤹤뤳�Ȥ�����Τǡ�$1,2,3,4$ �����줾����ѿȡդ��� $3,1,2,4$ �ˤʤ�ȳФ��Ƥ����Τ��ɤ��Ȼפ��ޤ���$a$ �ϡ��ѿȡդȸ������Ǥ��äơ������

$$a(1)=3, a(2)=1,a(3)=2,a(4)=4$$

�Ȥ����褦�ˤ�񤭤ޤ��� ���������㤦��Τ�Ʊ����Τ��ѿȤ��Ƥ��ޤä��ꡢ�����Τ��ѿȤ����Τ��ʤ��ä��ꤹ��ȡ����֤������դˤʤ�ޤ��󤫤顢����Ͻ����ʤ���Фʤ�ޤ���

���� 4.1   ������ξ��ˤϡ����� $4$ �Ĥ����顢���ͤ�ñ�ͤ�Ʊ�ͤˤʤ�ޤ�����̵�¸Ĥθ�����Ľ��� $S$ ���餽�켫�� $S$ �ؤμ����Ǥϡ����̤ˤ����Ȥϸ����ޤ��󡣤������������Τν��� $S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ���餽�켫�Ȥؤμ��� $f:S\to S$ ���Ф��ơ����ͤǤ��뤬��ñ�ͤǤϤʤ������ȡ�ñ�ͤǤ��뤬�����ͤǤʤ���Τ����󤲤ʤ�����

���ơ���Ĥ��ִ��η��(�黻)���̾�Ը�������ɡդߤޤ������Ȥ��С�

$$a= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}$$

�γݤ��� $ab$ �ϡ�

$$ab= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&3&4&1 \end{pmatrix}\begin{pmatr... ...&4 \\ 3&1&2&4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 4&2&3&1 \end{pmatrix}$$

�Ĥޤꡢ�㤨�� $1$ �� $b$ �� $3$ �˲����ơ����� $a$ �� $3$ �� $4$ �˲�����Τǡ���̤Ȥ��� $1$ �� $ab$ �ˤ�ä� $4$ �˲����뤳�Ȥˤʤ�ޤ���

���� 4.2   ��� �����Τ�Ȥǡ�$ba$ ����ʤ�����

���� 4.3  

$$a(b(1))=(ab)(1), a(b(2))=(ab)(2) , a(b(3))=(ab)(3) , a(b(4))=(ab)(4)$$

��ľ�ܷ׻����Ƽ����ʤ����� $a(b(x))=(ab)(x)$ ���ִ����̤ˤĤ�������Ω���ޤ���

���� 4.4   ���Ĥθ� $1,2,3$ ���ִ��ò¤¹¤Ù¤Æµï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(������ $6$ �Ĥ���Ϥ��Ǥ���) ����� $6$ �Ĥò½¸¤á¤¿ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ï¡ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½È¤ï¿½Î¤ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��� 4.1   ����ִ� $(a_1,\dots a_r)$ �Ȥϡ�

$$a_1 a_2$$

$$a_2 a_3$$

$$a_3 a_4$$

$$\dots$$

$$a_{r-1} a_r$$

$$a_r a_1$$

�ȸ����褦���ִ��Τ��ȤǤ���

�㤨�С�7�Ĥθ� $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ���ִ��Ȥ��Ƥ� $(1 5 4 6)$ �Ȥϡ�

$$\begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7 \\ 5&2&3&6&4&1&7 \end{pmatrix}$$

�Τ��ȤǤ���

Ǥ�դ��ִ��ϸߤ���Ʊ��ʸ����ޤޤʤ�����ִ����ѤȤ���ɽ�����Ȥ��Ǥ��ޤ����㤨�� ���ִ�

$$\sigma= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 4&5&7&6&2&1&8&9&3 \end{pmatrix}$$

��褯�ߤƤߤ�ȡ����Τ褦���ѿȤ��ͻҤ�ʬ����ޤ���

$$3\overset{\sigma}{\mapsto} 7\overset{\sigma}{\mapsto} 8 \overset{\sigma}{\mapsto} 9 \overset{\sigma}{\mapsto} 3$$

$$1\overset{\sigma}{\mapsto} 4\overset{\sigma}{\mapsto} 6 \overset{\sigma}{\mapsto} 1$$

$$2\overset{\sigma}{\mapsto} 5\overset{\sigma}{\mapsto} 2$$

�������äơ�

$$\sigma= (3 7 6 8) (1 4 6 )(2 5)$$

�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ����ޤ���

���� 4.5   ���γ��ִ���ߤ���Ʊ��ʸ����ޤޤʤ�����ִ����ѤȤ���ɽ���ʤ�����

1. (1 2 3)(4 5)(1 2 3 6 7)
2. (1 2)(1 2 3 4)(1 2)(2 3 5 6)

���� 4.6   ���γơ��ξ��� $\rho \sigma \rho^{-1}$ ����ʤ�����

1. $\sigma=(1\ 4)(2\ 5\ 6),\quad \rho=(3\ 4\ 5)$
2. $\sigma=(3\ 4\ 9)(2\ 1\ 6\ 8),\quad \rho=(5\ 7)(2\ 3\ 9)$

   �ʤ��������ϸߤ���Ʊ��ʸ����ޤޤʤ�����ִ����ѤȤ��ƽ񤤤Ƥߤʤ�����

   (���̤ˡ� $\rho \sigma \rho^{-1}$ �� $\sigma$ �� $\rho$ �ˤ�붦�򸵤ȸƤФ�ޤ� ��)

���� 4.7   �ִ��ζ��ò¸µ¤Î´ï¿½Ã±ï¿½Ê·×»ï¿½Ë¡ï¿½ï¿½Í¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 4.8   $\sigma=(1 2 3)(4 5)$ �Ȥ��ޤ��� $\rho\sigma\rho^{-1}=(3 4 5)(1 2)$ �Ȥʤ� �褦�� $\rho$ ���ĵ��ʤ�����

��� 4.2   ���̤ˡ��� $G$ �θ� $g$ �ΰ̿��Ȥϡ�$g^n=e$ (ñ�̸�)�Ȥʤ�Ǿ������������Τ��Ȥ� �����ޤ����ޤ����� $G$ �ΰ̿��ȸ����Τϡ�$G$ �θ��ο��Τ��ȤǤ���

���� 4.9   Ǥ�դη� $G$ ��Ǥ�դθ� $g$ �ˤĤ��ơ�$g$ �ΰ̿��� $g$ ����������� $G$ ����ʬ�� �ΰ̿������������Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 4.10   ����ִ� $\sigma=(a_1,\dots,a_r)$ �ΰ̿�����ʤ�����

���� 4.11   ��Ĥν���ִ� $\sigma=(a_1,\dots,a_r),\tau=(b_1,\dots,b_k)$ �ˤĤ��ơ� $a_i,b_j$ ��Ʊ��ʸ�����ʤ��Ȥ����� $\sigma\tau$ �ΰ̿�����ʤ�����

��� 4.3   $n$ -�Ĥθ�����ʤ뽸�� $\{1,2,3,\dots,n\}$ �ξ���ִ������ΤΤʤ����� $n$ -���о� ���ȸƤӡ�$\frak S_n$ �Ƚñ¤­¤Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½

���� 4.12   3���оη� $\frak S_3$ ����ʬ���ò¤¹¤Ù¤Æ½ñ¤­¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½(������ϻ�Ĥ���Ȧ�Ǥ���)

���� 4.13   �����оη��θ��Τ��줾��ò¡¢¸ß¤ï¿½ï¿½ï¿½Æ±ï¿½ï¿½Ê¸ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Þ¤Þ¤Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ö´ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½Ñ¤È¤ï¿½ï¿½ï¿½É½ï¿½ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ ��($4!=24$ �Ĥ���ޤ���)

���� 4.14   $n$ -���оη��ϡ��ߴ� $(1 2),(2 3),(3 4),\dots ,(n-1 n)$ ����������뤳�Ȥ� �������ʤ�����

���� 4.15   $n$ -���оη��ϡ��ߴ� $(1 2)$ �Ƚ���ִ� $(1 2 3 \dots n-1 n)$ ���������� �뤳�Ȥ�������ʤ�����

���� 4.16   $\sigma=(1 2 3 \dots n)$ ����������� $\frak S_n$ ����ʬ���ȡ� ���� 5.1 �ǽФ��褿 $C_n$ �Ȥ��ܼ�Ū��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ� �������ʤ�����

���� 4.17   �ͤĤθ� $1,2,3,4$ ���ִ��Ϥ����Ĥ��뤫�����ʤ��������̤� $n$ -�Ĥθ����ִ��θĿ��Ϥ����Ĥ���ޤ�����

���� 4.18   ���Ĥθ����ִ��Τʤ��� $\frak S_3$ �������ѷ��ι�Ʊ�Ѵ��� $\Bbb D_3$ ��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 4.19   $G$ ����ʬ���� $H$ �ϡ�����2�����������Ȥ� $G$ ����ʬ���Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

1. $H\neq \emptyset$
2. $a,b \in H \implies ab \in H$
3. $a\in H \implies a^{-1}\in H$

�դˡ���ʬ���Ϥ���2�������������Ȥ⼨���ʤ�����