����� �齬 C (����) ���� No.2

�����갷���Ȥ��ˤϡ�������� (0),(1),(2),(3) ����äƹͤ��褦��

(i).

����Ū�ˤϡ����̤γݤ���(���뤤�ϡ�­����)���äƤ���ȻפäƤ褤��

(ii).

�Ѥϡ��Ĵ��Ȥϸ¤�ʤ���

(iii).

���̤ˤϡ����α黻�ʳ����Ѥ��ƤϤʤ�ʤ���

���� 2.1   �� $G$ �θ� $x$ �ȡ������� $n$ �ˤĤ��ơ� $x$ �� $n$ �Ĥ��� $xx\dots x$ �� $x^n$ �Ƚñ¤­¡ï¿½ $(x^n)^{-1}$ ($x^n$ �εո�) �� $x^{-n}$ �Ƚñ¤­¤Þ¤ï¿½ï¿½ï¿½ Ǥ�դ����� $a,b$ �ˤĤ��ơ�

$$x^a x^b=x ^{a+b}, (x^a)^b =x^{ab}$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 2.2   ���� $G$ �˱黻 $\cdot$ ��������졢���α黻�Ϸ��ˡ§���������Ȥ��ޤ��� ����ˡ�$G$ ��Ǥ�դθ� $a,b$ �ˤĤ��ơ� $a\cdot x=b, y\cdot a=b$ �Ȥʤ� $x,y\in G$ ��¸�ߤ����Ȥ��ޤ��� (������ϲ��ꤷ�ʤ���)���λ� $G$ �Ϸ��Ȥʤ뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.3   ���θ� $a,b$ ���Ф��ơ�

$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$$

������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��ʤ����� $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ �� ���ĤǤ��������Ȥ����ޤ����� (������������Ǥϡ����������ˤϾ������������ʤ����ˤ϶���Ū����� �����뤳�Ȥ��׵ᤷ�Ƥ��ޤ���)

���� 2.4   ͭ�¸Ĥθ�����ķ� $G$ �ˤĤ��ơ����Τɤθ� $a$ �ˤĤ��Ƥ⡢$a^n=e$ ($e$ ��ñ�̸�)�Ȥʤ뼫���� $n$ ��¸�ߤ�����ò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.5   �� $G$ ��Ǥ�դθ� $a$ ������$a^2=e$ ($e$ �� $G$ ��ñ�̸�) �Ȥʤ�Ȥ���ȡ�$G$ �ϼ¤ϲĴ����Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.6   ���̤ˡ����θ� $a,b$ �ˤĤ��ơ�

$$ab^{-1}=b^{-1}a$$

���������Ȥ����ޤ�����

���� 2.7   �� $G$ �θ� $a,b,c,d,f,g,h,k,l$ �ˤĤ��ơ����θ���Ǥ��������ñ��ɽ���ʤ�����

$$(abcd)^{-1} abc (h^{-1}g)^{-1}(fh)^{-1}klk^{-1}$$

���� 2.8   �� $G$ ����Ĥθ� $a,b$ �����ط� $ba=a^3b$ ���������Ȥ��� $ba^5=a^{15}b$ ������Ω �Ĥ��Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.9   �� $G$ ����Ĥθ� $a,b$ �����Τ褦�ʴط��������� ���Ȥ��ޤ���

$$a^{60}=e, b^4=e, \quad a b=b a^{20}$$

���ΤȤ���$a^3=e$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 2.10   �� $G$ �θ� $a$ �� $a^{15}=e, a^{25}=e$ ��ߤ����Ȥ��� $a^5=e$ �Ǥ��뤳�Ȥò¼¨¤ï¿½ï¿½Ê¤ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

���� 2.11   �� $G$ ����Ĥθ� $a,b$ �����Τ褦�ʴط��������� ���Ȥ��ޤ���

$$a^{60}=e, b^4=e, \quad a b=b a^{20}$$

���ΤȤ���$a^3=e$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 2.12   �� $G$ ����Ĥθ� $a,b$ �����Τ褦�ʴط��������� ���Ȥ��ޤ���

$$a^{60}=e, \quad a b=b a^{2}$$

���ΤȤ���$a^{15}=e$ �Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ�����

���� 2.13 (�������������)  

1. ʣ�ǿ����ΤΤʤ����� ${\mathbb{C}}$ �ϡ��¿��� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ����������֤Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� ���ˡ� ${\mathbb{C}}$ �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ ��δ�����ĵ󤲤ʤ�����
2. $x=a+bi \in {\mathbb{C}}\quad (a,b\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$)$ ����ꤷ���Ȥ���

   $$L_x: {\mathbb{C}} \to {\mathbb{C}}$$

   $$\cup \!\! \!\! \shortmid \cup \!\! \!\! \shortmid$$

   $$z \mapsto xz$$

   
   
   �� $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ -�������� $L_x$ ������Ǥ��뤳�Ȥ�Τ���ʤ�����
3. (1) �δ����Ȥä� $L_x$ ������ɽ�����ʤ�����

���� 2.14 (ʣ�ǿ�������)   ���̤ˡ�ʣ�ǿ� $z=a+bi$ ���Ф��ơ�ʿ�̾���� $(a,b)$ ���б������뤳�Ȥ��Ǥ��ޤ������ΤȤ�����Ĥ�ʣ�ǿ� $z,w$ �ȡ�

1. �� $z+w$
2. �� $zw$

�Ȥΰ��ִط���������Ū�ˤɤ��ʤäƤ��뤫��Ҥ٤ʤ�����

(�ҥ�ȡ�(��)ʿ�Ի��շ���ˡ§��(��) $z=r(\cos (\psi) +i\sin(\psi)), w=R(\cos (\phi) +i\sin(\phi))$ �Ȥ����Ƥߤʤ�����(�˺�ɸɽ��))

���� 2.15 (�������������)   $A$ �� ʣ�Ƿ�����$n\times n$ -����Ȥ��ޤ������ΤȤ���

$$A^N+ c_{N-1} A^{N-1}+c_{N-2}A^{N-2} +\dots +c_1 A+c_0 E=0$$

($E$ ��ñ�̹���)

�Ȥʤ뼫���� $N$ �ȡ�ʣ�ǿ� $c_{N-1}, c_{N-2}, \dots, c_0$ ��¸�ߤ��뤳�Ȥ򼨤��ʤ����� (�ҥ�ȡ� $M_n({\mathbb{C}})$ ��ͭ�¼����Ǥ��뤳�Ȥ����դ��ʤ�����)

���� 2.16   �¿� $\theta$ ���ĸ��ꤹ�롣 ���������� $A,B$ ��

$$A= \begin{pmatrix} \cos(\theta) &-\sin(\theta)\\ \sin(\theta) &\cos(\theta) \end{pmatrix}, B= \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 &-1 \end{pmatrix}$$

�����롣���ΤȤ��� $AB=BA^{-1}$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤��� ����ˤ�����Ѥ��� $A^kB=BA^{-k}$ ������Ω�Ĥ��Ȥ򼨤���