next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

    

����� I No.12����

\fbox{º£Æü¤Î¥Æ¡¼¥Þ} �ԴĤ�ľ��ʬ�ò¡¦£ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½

��ĤδĤ�Ĥ�ľ�Ѥ�ʬ�򤹤�ȳڤʤ��Ȥ����롣

�Ĥ�ľ��ʬ�򤹤�Ȥ��ˤϡ��б�����ͱƤ����Τ��ݥ���Ȥˤʤ롣

��� 12.1   $ R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���$ R_1,R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�� �Ȥϡ��ǥ�����ѽ��� $ R_1\times R_2$ �ξ�ˡ� ���Τ褦�ʱ黻�����������ΤǤ��롣

% latex2html id marker 838
$\displaystyle (a,b) + (c,d)=(a+c,b+d), \quad (a,b)\times (c,d)= (ac,bd)
$

$ R_1$ �� $ R_2$ �δĤȤ��Ƥ�ľ�Ѥ����� $ R_1\times R_2$ �Ƚ񤯡�

���� 12.1   $ R_1,R_2$ �ϴĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ���
  1. $ R_1\times R_2$ �ϴĤˤʤ롣
  2. $ R_1,R_2$ ��ñ�̸� �����줾�� $ 1_{R_1},1_{R_2}$ �Ȥ���ȡ� $ R_1\times R_2$ ��ñ�̸��� $ (1_{R_1},1_{R_2})$ �Ǥ��롣
  3. $ R_1,R_2$ ���Ȥ�˲Ĵ��ʤ�С� $ R_1\times R_2$ ��Ĵ��Ǥ��롣

�� 12.1 (�Ĥ�ľ��ʬ��ζ�����)  
  1. $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/12{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ �� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/3{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\times {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/4{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ ��Ʊ���Ǥ��롣
  2. $ {\mathbb{C}}[X]/(X^2-X)$ �� $ {\mathbb{C}}[X]/(X)\times {\mathbb{C}}[X]/(X-1)$ ��Ʊ���Ǥ��롣

�Ĥ�ľ��ʬ��ˤ����Ƥϡ���Ĥδ���Ū�ʸ������פ�����̤�����

���� 12.2  
  1. $ R_1,R_2$ ��ñ�̸����IJĴ��ĤǤ���Ȥ��롣���ΤȤ� $ R_1\times R_2$ �θ� $ e_1,e_2$ �� $ e_1=(1,0),e_2=(0,1)$ �ˤ�ä�����ȡ����Τ��Ȥ� ����Ω�ġ�

    $\displaystyle e_1^2=e_1, e_2^2=e_2, e_1+e_2=1, e_1e_2=0$ (��)

  2. $ R$ ��ñ�̸����IJĴ��ĤǤ���Ȥ��롣�⤷ $ R$ �θ� $ e_1,e_2$ �ǡ� $ ($��$ )$����������Τ�¸�ߤ���С� $ R$ �� $ R/(e_1) \times R/( e_2)$ �� Ʊ���ˤʤ롣

�������ˤ�ꡢ�Ĥ�ľ��ʬ�򤷤����Ȥ��ˤϡ� $ ($��$ )$ �������� �� $ e_1,e_2$ ��õ���Ф������Ȥ��狼�롣$ e_1,e_2$ �Τ��Ȥ� (ľ��ʬ����б�����)�ͱƤȸƤ֡�

�����Ĥδ� $ R_1,R_2,R_3$ ��ľ�Ѥ���Ĥξ���Ʊ�ͤ��������롣 �� $ (R_1\times R_2)\times R_3$ �� $ R_1\times R_2\times R_3$ �� Ʊ���Ǥ��롣���İʾ�Ǥ�Ʊ�͡�

����ݡ�������

�Ĥ��Τ�����������򤷤Ʋ򤭤ʤ����� (���¡����ιֵ��ν�λ���ޤǡ�)

(I).
$ 1000$ �dz��� $ 56$ ;�ꡢ $ 1001$ �dz��� $ 34$ ;�ꡢ$ 1003$ �dz��� $ 12$ ;��褦������ $ n$ ������ĵ���(����η׻��Ϥ������پ�ά���Ƥ褤�� ��������ˡ�Ͻ񤤤Ƥ������ȡ�) ����ԥ塼�����Ѥ������ˤϡ� �ɤΤ褦�ʸ���(�㤨��UBASIC,mupad �ʤ�)���Ѥ����Τ����������뤳�ȡ� (��ǽ�ʤ�С��ץ����������������Τ�����ˤĤ���Ȥ�äȤ褤��)

(II).
$ X^3+1$ �dz��� $ X+1$ ;�ꡢ$ X^2+2$ �dz��� $ X$ ;��褦�� $ {\mathbb{C}}[X]$ �� �� $ p(X)$ ������ĵ��衢��

(III).
$ a,b,c$ �ϡ����Τ����Τɤ���Ĥ���ۤʤ�褦��ʣ�ǿ��Ȥ��� $ {\mathbb{C}}[X]$ �θ� $ p(X)$ �� $ X-a,X-b,X-c$ �dz�ä��Ȥ��� ;�꤬���줾�� $ e,f,g  (\in {\mathbb{C}})$ �Ǥ��ä��Ȥ��롣���ΤȤ���$ p$ �� $ (X-a)(X-b)(X-c)$ �dz�ä�;�����衣(�����Ϥ������٤��줤�ʷ��ˤ��Ƥ����� ̵����Ÿ�����ʤ��Ƥ�褤��)


ʿ��18ǯ1��18��