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鐃緒申鐃緒申惘藹� I 鐃緒申鐃緒申 No.3

\fbox{イデアルの定義、剰余環編}

鐃緒申鐃� 3.1   鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃順が $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申鐃夙は￥申
  1. $ I$ 鐃緒申 $ (R,+)$ 鐃緒申鐃緒申分鐃獣件申鐃叔わ申鐃暑。
  2. $ r\in R, a\in I \implies ra\in I, ar\in I$
鐃緒申鐃緒申鐃緒が鐃緒申鐃緒申立鐃縦とわ申鐃祝醐申鐃緒申鐃殉わ申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.1   鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申 $ \{0\}$ 鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�(鐃縮常申 $ \{0\}$ 鐃緒申単鐃緒申 0 鐃叔わ申鐃緒申錣件申泙鐃緒申鐃�)

鐃緒申鐃緒申 3.2   鐃縦の間の緒申同鐃緒申 $ f:R\to S$ 鐃塾鰹申 $ \ker(f)$ 鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.3   $ I,J$ 鐃緒申鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申覆鐃出￥申$ I\cap J$ 鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.4   $ I,J$ 鐃緒申鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申覆鐃出￥申

% latex2html id marker 1171 $\displaystyle I+J=\{a+b; \quad a\in I, b\in J\} $

鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.5   $ I,J$ 鐃緒申鐃縦器申鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申覆鐃出￥申

$\displaystyle IJ=\{\sum_i a_ib_i ($有鐃緒申鐃緒申$\displaystyle ); a_i\in I, b_i \in J \}$   (鐃緒申鐃緒申)

鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申箸覆襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.6   鐃縦器申鐃緒申 $ R$ 鐃塾駈申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle P=\{x\in R; x^n=0 (\exists n\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}_{>0})\} $

鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申箸覆襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃� 3.2   単鐃縮醐申鐃緒申鐃緒申腸調鐃緒申鐃� $ R$ 鐃緒申琉鐃緒申竸鐃渋随申犲逸申箸蓮鐃�

% latex2html id marker 1195 $\displaystyle a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1}+a_{n-2} X^{n-2}+\dots+ a_1 X+ a_0 \quad (a_n,\dots,a_0 \in R) $

鐃塾よう鐃緒申表鐃緒申鐃緒申鐃緒申里里鐃緒申箸任鐃緒申鐃�$ R$ 鐃緒申琉鐃緒申竸鐃渋随申犲逸申鐃緒申鐃緒申里牢弔鐃淑わ申鐃殉わ申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃� $ R$ 鐃緒申琉鐃緒申竸鐃渋随申犲逸申弔噺鐃緒申辰董鐃�$ R[X]$ 鐃叔わ申鐃緒申錣件申泙鐃緒申鐃� 鐃淑駕申鐃緒申鐃楯なので《逸申鐃術随申多鐃準式鐃春わ申鐃出てわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申任蓮鐃� $ R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申鐃緒申腸調鐃緒申弔任鐃緒申鐃夙駕申鐃所し鐃銃わ申鐃暑こ鐃夙にわ申鐃殉わ申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.7 (単鐃縮醐申鐃緒申鐃緒申腸調鐃�)   鐃緒申 $ R$ 鐃緒申琉鐃緒申竸鐃渋随申犲� $ f(X)$ 鐃緒申 $ R$ 鐃塾醐申 $ a$ 鐃祝つわ申鐃銃￥申$ f(a)=0$ 鐃淑わ申弌鐃�

% latex2html id marker 1216 $\displaystyle f(X)=(X-a)g(X) \quad g(X)\in R[X] $

鐃夙わ申鐃緒申錣誌申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃� 3.3   鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾わ申忘鐃緒申泙鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $ R$ 鐃塾醐申 $ a$ 鐃熟￥申

$\displaystyle ab=0 $

鐃淑わ申 % latex2html id marker 1225 $ b(\neq 0)\in R$ 鐃緒申存鐃淳わ申鐃緒申箸鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申劼噺討个鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃述わ申同鐃粛わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃殉わ申鐃緒申鐃縦器申鐃縦では￥申鐃緒申鐃緒申鐃塾駈申鐃縮わ申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申里如鐃獣縁申鐃緒申鐃緒申鐃緒申劼噺討咾泙鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃述わ申 0 鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃縦器申鐃縦わ申鐃緒申鐃緒申噺討咾泙鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.8   鐃緒申鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃術随申多鐃準式 $ f(X)$ 鐃熟￥申$ R$ 鐃祝高々 $ d$ 鐃縦わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.9   鐃縦器申鐃緒申 $ R$ 鐃緒申琉鐃緒申竸鐃渋随申犲� $ f(X)$ 鐃塾件申鐃緒申鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃述わ申鐃緒申鐃緒申弌鐃�$ f(X)$ 鐃緒申 $ R[X]$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃述となるこ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.10   有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申竸鐃渋随申犲逸申鐃� $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ [X,Y]$ 鐃塾種申鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申 $ I,J$ 鐃緒申覆鐃駿わ申鐃緒申単鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申表鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle I=(X+Y(X+1),Y,X^2), J=(X+Y,X+Y^2, X+Y^3, X+Y^4, X+Y^5) $

鐃緒申鐃緒申 3.11   鐃縦駈申鐃� $ [0,1]$ 鐃緒申鐃熟�続鐃舜随申鐃緒申鐃塾のなわ申鐃緒申 $ R=C([0,1])$ 鐃緒申佑鐃緒申泙鐃緒申鐃緒申鐃緒申里鐃塾わ申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申砲覆鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申
  1. % latex2html id marker 1263 $ S_1=\{ f\in R; \quad f(1/2)=0 \}$
  2. % latex2html id marker 1265 $ S_2=\{ f\in R; \quad f(1/2)=1 \}$
  3. % latex2html id marker 1267 $ S_3=\{ f\in R; \quad f(x)=0$    鐃緒申鐃緒申鐃駿てわ申 $x&isin#in;[1/2,1]$ 鐃祝つわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃緒申$ \}$
  4. % latex2html id marker 1270 $ S_4=\{ f\in R; \quad f(x)=1$    鐃緒申鐃緒申鐃駿てわ申 $x&isin#in;[1/2,1]$ 鐃祝つわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃緒申$ \}$

鐃緒申鐃緒申 3.12   鐃緒申鐃緒申鐃� $ (0,1)$ 鐃緒申鐃� 連続鐃舜随申鐃緒申鐃塾のなわ申鐃緒申 $ R=C(0,1)$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle S=\{f\in R; \lim_{x\to 0} f(x)=0\} $

鐃緒申 $ R$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申砲覆鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.13  
  1. 鐃緒申鐃緒申鐃� $ (0,1)$ 鐃緒申鐃� 連続鐃舜随申鐃緒申鐃塾のなわ申鐃緒申 $ R=C(0,1)$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申

    $\displaystyle S=\{f\in R;$   $f$ 鐃緒申 $(0,1)$ 鐃緒申有鐃緒申$\displaystyle \} $

    鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦でわ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申
  2. $ S$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申

    $\displaystyle I=\{f\in S; \lim_{x\to 0} f(x)=0\} $

    鐃緒申 $ S$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申任鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.1   $ R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦環でわ申鐃緒申箸鐃緒申鐃�$ I$ 鐃薯そのワ申鐃叔ワ申鐃緒申箸鐃緒申襦� 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申
  1. $ R$ 鐃緒申同鐃粛関件申 $ \sim$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾よう鐃祝わ申鐃銃件申泙襦�

    $\displaystyle a\sim b \ {\Leftrightarrow}\ a-b \in I. $

  2. $ R/\sim$ 鐃祝￥申足鐃緒申鐃緒申鐃薯次のよう鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

    % latex2html id marker 1311 $\displaystyle \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b} \quad ($$?$ 鐃緒申 $?$ 鐃緒申 $&sim#sim;$ 鐃祝関わ申鐃緒申 鐃緒申鐃初ス鐃緒申表鐃緒申鐃緒申$\displaystyle ) $

    鐃緒申鐃緒申足鐃緒申鐃緒申鐃熟わ申鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃銃￥申$ R/\sim$ 鐃熟わ申鐃緒申足鐃緒申鐃緒申鐃祝つわ申鐃銃可器申鐃緒申鐃祝なる。
  3. $ R/\sim$ 鐃祝￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃薯次のよう鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申襦�

    $\displaystyle \bar{a}\cdot \bar{b}=\overline{a \cdot b} $

    鐃緒申鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申鐃熟わ申鐃殉わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃銃￥申$ R/\sim$ 鐃熟わ申鐃塾わ申鐃緒申鐃緒申鐃祝つわ申鐃緒申半鐃緒申鐃祝なる。
  4. $ R/\sim$ 鐃熟常申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃曙た足鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申亡悗鐃緒申弔鐃淑わ申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃盾、鐃緒申鐃塾環わ申単鐃縮醐申 $ \bar{1}$ 鐃緒申鐃緒申帖鐃�

鐃緒申鐃� 3.4   鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾駕申鐃緒申里鐃夙で￥申 $ R/\sim$ 鐃祝常申里茲�鐃緒申足鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃縦にわ申鐃緒申鐃緒申里鐃� $ R/I$ 鐃夙書き￥申$ R$ 鐃緒申 $ I$ 鐃祝わ申鐃緒申余鐃縦と呼ぶ￥申

鐃緒申鐃緒申 3.14 (鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申動鐃緒申鐃�)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃塾ワ申鐃叔ワ申鐃緒申 $ I=10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃祝つわ申鐃銃￥申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃祝上記鐃緒申鐃緒申里茲�鐃緒申同鐃粛関件申鐃薯いれた鐃夙わ申鐃緒申
  1. $ 1$ 鐃緒申同鐃粛でわ申鐃緒申茲�鐃緒申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃塾醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申 2鐃縦わ申鐃縦わ申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ a_1,\dots,a_4$ 鐃夙わ申鐃暑。
  2. $ 3$ 鐃緒申同鐃粛でわ申鐃緒申茲�鐃緒申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃塾醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申 2鐃縦わ申鐃縦わ申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ b_1,\dots,b_4$ 鐃夙わ申鐃暑。
  3. 鐃緒申里茲�鐃祝わ申鐃銃種申辰鐃� $ a_i,b_j$ 鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申鐃夙合せ(16鐃縮わ申) 鐃祝つわ申鐃銃￥申

    $\displaystyle a_i+b_j $

    鐃緒申鐃夙め、鐃緒申鐃塾わ申鐃塾わ申鐃塾につわ申鐃銃￥申 鐃緒申鐃緒申鐃銃縁申佑砲覆鐃� $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃塾醐申鐃緒申 $ \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 鐃塾なわ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃俊なわ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.15 (鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申動鐃緒申鐃�)   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/10{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃銃￥申鐃緒申鐃緒申 $ ?$ 鐃塾ワ申鐃初ス(同鐃緒申鐃緒申)鐃緒申 $ [?]_{10}$ 鐃緒申表鐃緒申鐃緒申鐃夙にわ申鐃暑。 鐃緒申鐃塾とわ申鐃緒申
  1. $ [10]_{10}=[0]_{10}$ 鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�
  2. % latex2html id marker 1371 $ [2]_{10}\neq [0]_{10}$ 鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�
  3. % latex2html id marker 1373 $ [5]_{10}\neq [0]_{10}$ 鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�
  4. $ [2]_{10}\times [5]_{10}$, $ [3]_{10}\times [7]_{10}$ 鐃緒申任鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申単鐃淑件申鐃緒申 鐃淑わ申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.16   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/15{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃塾なわ申鐃叔￥申

$\displaystyle x^2=1 $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申撞鵑欧覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.17   $ n=3\times 5\times 7\times 11(=1155)$ 鐃夙わ申鐃暑。 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}/n{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃塾なわ申鐃叔￥申

$\displaystyle x^2=1 $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里鐃緒申鐃緒申撞鵑欧覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 3.18  

$\displaystyle 1234567891234567 $

鐃緒申 $ 9$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃緒申泙鐃熟わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃叔わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申雰鐃緒申鐃緒申由鐃緒申弔鐃緒申鐃�(鐃竣誌申鐃緒申鐃緒申 鐃術わ申鐃暑こ鐃夙なわ申)鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.19  

$\displaystyle 1234567891234567 $

鐃緒申 $ 11$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃緒申泙鐃熟わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃叔わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申雰鐃緒申鐃緒申由鐃緒申弔鐃緒申鐃�(鐃竣誌申鐃緒申鐃緒申 鐃術わ申鐃暑こ鐃夙なわ申)鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 3.20  

$\displaystyle 1234567891234567 $

鐃緒申 $ 99$ 鐃叔鰹申辰鐃緒申鐃緒申泙鐃熟わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃叔わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申雰鐃緒申鐃緒申由鐃緒申弔鐃緒申鐃�(鐃竣誌申鐃緒申鐃緒申 鐃術わ申鐃暑こ鐃夙なわ申)鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

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