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鐃緒申鐃緒申惘藹� I 鐃緒申鐃緒申 No.2

\fbox{環と体の定義とその周辺編(2)}

鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃曙か鐃緒申蓮鐃緒申箸鐃緒申砲鐃緒申箸鐃緒申覆鐃緒申造蝓�単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦環のみを扱わ申鐃緒申鐃瞬環」とわ申鐃緒申鐃出￥申 単鐃縮醐申鐃緒申鐃緒申調弔伐鐃潤し鐃銃わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申(単鐃縮醐申鐃緒申存鐃淳わ申鐃夙わ申鐃祝緒申鐃竣な誌申鐃祝は￥申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃暑。)鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃術わ申鐃縦器申鐃叔わ申鐃緒申箸呂泙鐃緒申鐃緒申蠅件申覆鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 2.1   % latex2html id marker 1219 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\mbox{${\sqrt {-1}}$}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{a+b\mbox{${\sqrt {-1}}$};a,b\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$ 鐃熟環となるこ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申( % latex2html id marker 1221 $ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$ 鐃熟居申鐃緒申単鐃縮をあわ申錣刻申鐃緒申鐃叔わ申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申 2.2   単鐃縮醐申 $ 1$ 鐃緒申鐃緒申調鐃� $ R$ 鐃塾醐申 $ x,y,z$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申鐃銃￥申

  $\displaystyle xy=1$   (鐃緒申鐃淑わ申鐃� $ y$ 鐃緒申 $ x$ 鐃塾縁申鐃春醐申鐃叔わ申鐃暑。)    
  $\displaystyle zx=1$   (鐃緒申鐃淑わ申鐃� $ z$ 鐃緒申 $ x$ 鐃塾削申鐃春醐申鐃叔わ申鐃暑。)    

鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃縦とわ申鐃緒申$ z=y$ 鐃叔わ申鐃獣て￥申

$\displaystyle xy=yx=1$   (鐃緒申鐃淑わ申鐃� $y(=z)$ 鐃緒申 $x$ 鐃塾逆醐申鐃叔わ申鐃緒申)

鐃緒申鐃緒申鐃緒申立鐃縦わ申鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃� 2.1   単鐃縮醐申鐃緒申存鐃淳わ申鐃緒申鐃� $ R$ 鐃祝わ申鐃緒申鐃銃￥申鐃春醐申鐃緒申存鐃淳わ申鐃緒申茲�鐃淑醐申鐃塾わ申鐃夙わ申$ R$ 鐃塾可逆醐申鐃夙わ申鐃緒申単鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃暑い鐃緒申単鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申鐃殉わ申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.3   $ R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申存鐃淳わ申鐃緒申弔箸鐃緒申泙鐃緒申鐃� $ R$ 鐃塾可逆醐申鐃緒申鐃緒申 $ R^{\times}$ 鐃熟件申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃� 2.2   鐃緒申鐃緒申鐃� $ R^{\times}$ 鐃塾わ申鐃夙わ申 $ R$ 鐃緒申単鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申鐃殉わ申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.4   $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$ 鐃緒申単鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 2.5   % latex2html id marker 1265 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\mbox{${\sqrt {-1}}$}$ 鐃緒申単鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 2.6   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ +$$ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$% latex2html id marker 1271 $ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ =\{a+b$% latex2html id marker 1273 $ \mbox{${\sqrt {-1}}$}$$ ;a,b\in$   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ \}$ 鐃緒申鐃塾となるこ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃� 2.3 (鐃緒申分鐃縦わ申鐃緒申鐃�)   $ R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦環でわ申鐃緒申箸鐃緒申襦�$ R$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申 $ S$ 鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦でわ申鐃緒申箸蓮鐃�$ S$ 鐃緒申鐃緒申鐃塾常申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃祝わ申鐃緒申鐃緒申
  1. $ S$ 鐃緒申 $ R$ 鐃緒申足鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申流鐃術わ申鐃暑こ鐃夙にわ申鐃縦になってわ申鐃暑。
  2. $ S$ 鐃緒申 $ R$ 鐃緒申単鐃縮醐申鐃薯元とわ申鐃銃誌申鐃縦￥申

鐃緒申両鐃緒申里鐃緒申鐃緒申鐃�(1)鐃緒申鐃旬種申的鐃緒申分鐃叔わ申鐃所、(2) 鐃緒申鐃緒申頭鐃叔述べわ申鐃緒申鐃春に沿う鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申的鐃緒申鐃叔わ申鐃暑。鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申(2)鐃緒申未鐃緒申鐃緒申討鐃緒申泙鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申聾鐃緒申鐃緒申鐃緒申紊�鐃淑わ申鐃獣わ申 鐃緒申鐃祝なわ申里鐃獣縁申霧鐃緒申里覆鐃緒申弔魄靴鐃緒申鐃�(鐃緒申鐃盾し鐃緒申鐃緒申个鐃緒申了鐃�)鐃祝わ申鐃緒申鐃春わ申必鐃竣でわ申鐃暑。

鐃緒申鐃緒申 2.7   鐃緒申鐃塾わ申里鐃淑ｏ申膿鐃緒申鐃緒申里里覆鐃緒申鐃� $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦でわ申鐃暑か鐃緒申鐃緒申由鐃緒申弔鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�
  1. 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾の緒申鐃緒申 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}$.
  2. 有鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃塾の緒申鐃緒申 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$.
  3. % latex2html id marker 1304 $ {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+\sqrt{-1}{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}=\{x+\sqrt{-1}y; x,y \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\}$.
  4. 複鐃叔随申鐃緒申鐃緒申分鐃祝わ申鐃緒申鷦々鐃緒申鐃緒申鐃緒申里僚鐃緒申鐃� $ M_2({\mathbb{C}})$.

鐃緒申鐃緒申 2.8   $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申 $ S$ 鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1313 $ 1,\sqrt{2}+\sqrt{5}$ 鐃薯元とわ申鐃銃誌申鐃獣てわ申鐃緒申箸鐃緒申泙鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃塾誌申鐃緒申 % latex2html id marker 1315 $ 2\sqrt{10},6\sqrt{2},6\sqrt{5}$ 鐃緒申 $ S$ 鐃塾醐申鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃� 2.4   単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦可器申鐃緒申 $ R$ 鐃緒申

$\displaystyle ab=0 (a,b\in R)\ \implies a=0$    or $\displaystyle b=0 $

鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申$ R$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申箸鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.9   $ M_2({\mathbb{C}})$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申鐃緒申

$\displaystyle \left\{ \begin{pmatrix} k+2l &0\\ 0 &k+3l \end{pmatrix}; k,l\in {\mathbb{C}} \right\} $

鐃熟駕申法鐃緒申鐃緒申法鐃緒申鐃緒申法鐃祝つわ申鐃緒申鐃縦わ申鐃銃わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃緒申 鐃緒申鐃曙が単鐃縮醐申鐃緒申鐃縦可器申鐃縦でわ申鐃暑こ鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申法鐃緒申鐃緒申隆弔鐃緒申鐃緒申鐃叔はなわ申鐃緒申鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.10   $ R$ 鐃緒申鐃縦器申鐃緒申 $ S$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦でわ申鐃緒申箸鐃緒申鐃�$ R$ 鐃緒申調鐃緒申弔砲覆蝓�鐃緒申鐃緒申鐃� $ S$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申鐃緒申 $ R$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 2.11   鐃渋随申鐃緒申鐃緒申分鐃祝誌申鐃緒申 $ n$-鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申里覆鐃緒申鐃緒申鐃� $ M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ 鐃緒申鐃縮常申了鐃祝￥申砲鐃獣て環になるこ鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鳳鐃獣わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.12   $ M_n($$ \mbox{${\mathbb{R}}$}$$ )$ 鐃塾醐申 $ A$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃述でわ申鐃緒申必鐃竣緒申分鐃緒申鐃緒申 $ \operatorname{det}(A)=0$ 鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.13   鐃緒申 $ R$ 鐃塾醐申 $ c$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ n$ 鐃祝わ申鐃� $ c^n=0$ 鐃夙なわ申箸鐃緒申鐃�$ c$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申噺鐃緒申鐃緒申泙鐃緒申鐃緒申發� $ R$ 鐃緒申単鐃縮醐申 $ 1$ 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃�$ c$ 鐃緒申 $ R$ 鐃塾駈申鐃緒申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申覆鐃出￥申 $ 1-c$ 鐃緒申 $ R$ 鐃緒申単鐃緒申鐃夙なるこ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.14   有鐃渋個の醐申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申蓮鐃緒申里箸覆襪鰹申箸鮗┐鐃緒申覆鐃緒申鐃緒申鐃�

鐃緒申鐃緒申 2.15   有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦とわ申鐃銃含わ申茲�鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申 $ R$ (鐃縦まり、 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$$ \subset R\subset {\mathbb{C}}$) 鐃緒申 % latex2html id marker 1393 $ \sqrt{2}+\sqrt{3}$ 鐃薯元とわ申鐃銃含わ申箸鐃緒申鐃� % latex2html id marker 1395 $ \sqrt{2},\sqrt{3}$ 鐃緒申 $ R$ 鐃塾醐申鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.16   有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦とわ申鐃銃含わ申茲�鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申 $ R$ 鐃緒申 % latex2html id marker 1406 $ \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ 鐃薯元とわ申鐃銃含わ申箸鐃緒申鐃� % latex2html id marker 1408 $ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}$ 鐃緒申 $ R$ 鐃塾醐申鐃叔わ申鐃暑こ鐃夙を示わ申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.17   有鐃緒申鐃緒申鐃緒申 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦とわ申鐃銃含わ申茲�鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申 $ R$ 鐃祝つわ申鐃銃￥申鐃緒申鐃緒申鐃緒申弔両鐃緒申鐃銃縁申佑任鐃緒申襪鰹申箸鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申
  1. % latex2html id marker 1419 $ \sqrt{3}+\sqrt{7}\in R$.
  2. % latex2html id marker 1421 $ \sqrt{3}\in R$ 鐃緒申鐃緒申 % latex2html id marker 1423 $ \sqrt{7}\in R$.

鐃緒申鐃緒申 2.18   鐃緒申鐃緒申如鐃�$ R$ 鐃緒申 $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦とわ申鐃銃含む、鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃銃わ申同鐃粛のわ申鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申岼鐃獣てわ申鐃緒申覆鐃夙随申鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃淑わ申鐃緒申鐃緒申

鐃緒申鐃緒申 2.19   $ \mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦とわ申鐃銃含わ申茲�鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃緒申 $ R$ 鐃叔￥申 鐃塾でなわ申鐃処う鐃淑わ申里鐃渋醐申澆鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申 (鐃緒申鐃緒申任鐃緒申襦ｏ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃祝つわ申鐃銃わ申鐃緒申鐃夙わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申匹鐃緒申鐃�)

鐃緒申鐃緒申 2.20  
  1. % latex2html id marker 1438 $ S={\mbox{${\mathbb{Z}}$}}+{\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\... ...hbb{Z}}$}}\sqrt{3}=\{k+l\sqrt{2}+m\sqrt{3}; k,l,m\in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}}\} $ 鐃緒申 $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦わ申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申
  2. $ S$ 鐃緒申泙燹� $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦で￥申鐃叔常申鐃塾わ申鐃�(鐃縦まり、$ S$ 鐃緒申 鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃緒申鐃� $ {\mathbb{C}}$ 鐃緒申鐃緒申分鐃縦はなにわ申鐃緒申

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