next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

    

�����II ���� No.10

�����Υơ���

\fbox{¥·¥í¡¼¤ÎÄêÍý(2)}

���� 10.1 (������������ )   $ G$ �ΰ̿��� $ p^a m$ ($ p$ ���ǿ���$ m$ �� $ p$ �Ȥϸߤ�����)�Ǥ���Ȥ���
  1. �̿� $ p^a$ �� $ G$ ����ʬ����¸�ߤ��롣 (����� $ G$ �� $ p$-���������ȸƤ�)
  2. $ G$ �� $ p$ ���������θĿ��� $ n$ �Ȥ���ȡ�$ n-1$ �� $ p$ �dz���ڤ�롣
  3. $ G$ �� $ p$-���������ΰ�Ĥ� $ P$ �Ȥ��롣 $ G$ ����ʬ�� $ P_1$ �� �̿����� $ p^a$ ������Ǥ���(���ʤ����$ P_1$ �Ϥ��켫�� $ p$-���Ǥ��� �Ȥ���ȡ�

    $\displaystyle x P_1 x^{-1} \subset P
$

    �ʤ� $ x\in G$ ��¸�ߤ��롣
  4. $ G$ �� $ p$-���������Ϥɤ��ߤ��˶���Ǥ��롣

����ϡ�����������(1)����ʬ�����������������ʬ����ˤ����ä������Τ�̡�

�ޤ��������μ�ĥ�����������Ƥ������� $ G$ �ΰ̿� $ n$ �� $ p$ �dz��������äơ�$ a$ ��dz��ʤ��ʤä��Ȥ��롣 �㤨�С� $ n=12$ �� $ p=2$ �ʤ顢$ n$ �� $ p$ �� $ 2$ ����ơ�$ p^a=4$ �Ȥ������Ǥ��롣���ΤȤ���$ G$ ����ʬ���ǡ� �̿� $ p^a$ �Τ�Τ�¸�ߤ���Ȥ������ȤǤ��롣

�� 10.1  

���Τ褦�ʥ��������ϡ��ɤΤ褦�˸��Ĥ���Ф褤�Τ������줬����ξ����Ǥ��äơ�

  1. �⤷ $ G$ ����ʬ�� $ G'$ �ǡ�$ G$ ��꿿�˾��������ʤ����� $ \vert G'\vert$ �� $ p^a$ ���ܿ��Ǥ���褦�ʤ�Τ򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ���С��ä��оݤ� $ G$ ���� $ G'$ �� �ܤ����Ȥ��Ǥ��롣($ G'$ ����ʬ���� $ G$ ����ʬ���Ǥ⤢�뤫��Ǥ��롣)
  2. $ G$ ����ʬ�� $ G'$ ����Ȥ��Ƥϡ�$ G$ �Τ��������ʸ� $ g$ ���Ф��� �濴���� $ H_g$ �� �ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣$ g$ �򤤤������Ȥ뤳�Ȥǡ� ���ʤ�γ�Ψ�Ǥ��Τ褦�� $ G'$ �򸫤Ĥ��뤳�Ȥ��Ǥ����������
  3. �⤷�Թ��ˤ⤽�Τ褦�ʤ�Τ���Ĥ�ʤ��ä��Ȥ��뤷�褦�����ΤȤ��� �����������Ѥ��ơ�$ G$ ���濴 $ Z(G)$ �� $ p$ ���ܿ��� �ʤ���Фʤ�ʤ����Ȥ�ʬ���롣�Ȥ����� $ G$ ���濴���礭����С� $ Z(G)$ ����ʬ�� $ Z$ ��Ŭ���ˤȤä� ����Ǿ�;�����뤳�Ȥˤ�� $ G/Z$ �� $ Z$ ����Ĥ��ä�ʬ���� ��Ϥ��ä�̿��� $ \vert G\vert$ ��꾮���ʷ��˵��夵���뤳�Ȥ��Ǥ���ΤǤ��롣

�Ǹ����ʬ�ϡ�����Ū�ˤϼ��Τ褦��������������Ф褤��

���� 10.1  
  1. �Ĵ��� $ Z$ �ΰ̿����ǿ� $ p$ �dz���ʤ�С� $ Z$ �θ� $ z$ �ǡ� �̿������礦�� $ p$ �Τ�Τ�¸�ߤ��롣
  2. �� $ G$ ���濴 $ Z(G)$ ����ʬ�� $ A$�ϡ�ɬ�� $ G$ ��������ʬ���Ǥ��롣

���� 10.1   $ \mathfrak{S}_4$ �� 2-���������� 3-���������θĿ��Ϥ��줾�줤���餫��

���� 10.2   $ \mathfrak{S}_5$ �� 2-���������� 3-����������5-���������θĿ��Ϥ��줾�줤���餫��



ʿ��16ǯ6��21��