next up previous
: ����ʸ��ˤĤ���...

    

�����II ���� No.7

�����Υơ���

\fbox{ľÀѤÈȾľÀÑ}

��� 7.1   �� $ G$ ����ʬ�� $ H$ �� $ K$ ��Ϳ����줿�Ȥ��롣���ΤȤ� $ G$ ����ʬ���� $ HK$ ��

% latex2html id marker 776
$\displaystyle HK=\{ h k ; h\in H,\quad k\in K\}
$

��������롣

$ HK$ �ϰ��̤ˤ� $ G$ ����ʬ���Ȥϸ¤�ʤ�������$ K$ �� �֤褤�׾��ˤ��ä��̤Ǥ��롣

̿�� 7.1   �� $ G$ ����ʬ�� $ H$,$ K$ �����äơ�$ K$ ������� $ G$ ��������ʬ���ʤ�С� $ HK$ �� $ G$ ����ʬ���ˤʤ롣

��� 7.2   �ɤ�ʷ� $ G$ ����ʬ�� $ H$,$ K$ �����äơ�
  1. $ K$ ������� $ G$ ��������ʬ����
  2. $ H\cap K=\{e\}$
  3. $ H K =G$
���ʤꤿ�ĤȤ��� $ G$ �� $ H$ �� $ K$ ��Ⱦľ�ѤǤ���ȸƤӡ� $ G=H \ltimes K$ �Ƚ񤫤�롣

$ H$ �� $ K$ ��ξ���� $ G$ ��������ʬ���ΤȤ��Ϥɤ�����������

̿�� 7.2   �� $ G$ ��������ʬ�� $ H,K$ �� $ H\cap K=\{e\}$ ��ߤ����ʤ�С� Ǥ�դ� $ h\in H$ ��Ǥ�դ� $ k\in K$ ���Ф��ơ� $ h k=k h$ ������Ω�ġ�

������ [*]�ˤ����ơ��Ȥ��� $ H$ ��������ʬ���ΤȤ��� $ G$ �� $ H$ �� $ K$ ��ľ�ѤǤ���ȸƤФ�롣

Ⱦľ�Ѥι�¤�����Ū�褯ʬ���롣

���� 7.3   $ G=H \ltimes K$ �ΤȤ��� $ h\in H, k\in K$ �ˤ������ơ� $ h k h^{-1} = {}^h k$ �Ȥ����ȡ� $ {}^h k$ �� $ K$ �θ��Ǥ��ꡢ
  1. % latex2html id marker 860
$ {}^h(k_1 k_2)= {}^h k_1{}^h k_2 \qquad(h \in H, k_1,k_2 \in K)$
  2. % latex2html id marker 862
$ {}^{h_1 h_2}k= {}^{h_1}({}^{h_2} k) \qquad(h_1,h_2 \in H, k \in K)$
��ߤ������դˡ��� $ H$,$ K$ ����� �����Ĥξ����������б�

$\displaystyle \Phi:H\times K \ni (h,k)\to {}^h k \in K
$

������С� $ H$,$ K$ ����� $ \Phi$ ��Ĥ��ä� $ G$ �������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

���� 7.1   �� $ G$ ����ʬ�� $ H,K$ �ǡ� $ HK$ �� $ G$ ����ʬ���ˤʤ�ʤ��褦�ʤ�Τ� ����ĵ󤲤衣(��ͳ��Ҥ٤뤳��)��



ʿ��16ǯ6��3��